基于匈牙利算法二分图匹配数学建模题目

匈牙利算法，也称为Munkres算法，是一种用于解决最大流最小割问题的数学优化方法，它特别适用于求解二分图的最大匹配问题。在一个二分图中，每条边连接两个不同的顶点集合A和B。匈牙利算法的目标是最优地配对这些顶点，使得边的数量最多，同时满足每一条边都不形成一个“圈”（即不存在一条路径从某个顶点出发，经过一系列的边后回到原点，这样的边组合被称为割）。

在建模时，通常会设定以下步骤和变量：

1. **定义变量**：对于每个顶点u属于集合A，设x_u表示是否将其匹配出去；对于集合B的顶点v，设y_v同样表示是否匹配。

2. **约束条件**：
- 对于A中的每个顶点u，有约束∑_vx_uv ≤ 1，意味着u不能同时被匹配给两个顶点。
- 对于B中的每个顶点v，有约束∑_ux_uv ≤ 1，同理，v也不能同时接受两个匹配。
- 另外，如果边(u, v)存在，则x_u = 1时，y_v必须等于1，表示这条边被使用。

3. **目标函数**：最大化匹配数，即求和x_u * y_v，当(u, v)是一条边时。

4. **应用匈牙利算法**：通过构建增广路和交替路径的过程，逐步调整x和y的值，直到无法找到增广路为止，此时得到的匹配就是最大的。