协同过滤算法数学模型

协同过滤算法是一种基于用户历史行为和偏好进行推荐的算法。其数学模型可以通过矩阵分解的方式来实现。具体来说，协同过滤算法将用户和物品表示为矩阵中的行和列，并将用户对物品的评分表示为矩阵中的元素。然后，通过将原始评分矩阵分解为两个低秩矩阵的乘积，来找到用户和物品之间的潜在关系，从而进行推荐。

具体地说，设评分矩阵$R$为$m\times n$的矩阵，其中$m$表示用户数量，$n$表示物品数量。设低秩矩阵$U$为$m\times k$的矩阵，表示用户的$k$维潜在特征向量；低秩矩阵$V$为$k\times n$的矩阵，表示物品的$k$维潜在特征向量。则原始评分矩阵可以表示为$R=UV$，其中，$U$和$V$是未知参数，需要通过优化算法来求解。

最常用的优化算法是交替最小二乘法（Alternating Least Squares, ALS），它通过交替固定一组参数求解另一组参数的方式来迭代求解。

相关问题

基于协同过滤算法的新闻推荐系统

### 构建基于协同过滤算法的新闻推荐系统

#### 选择合适的协同过滤技术
对于构建新闻推荐系统的场景，可以选择两种主要类型的协同过滤方法：基于用户的协同过滤(User-Based Collaborative Filtering)[^1] 和 基于物品的协同过滤(Item-Based Collaborative Filtering)。前者依赖于找到具有相似阅读习惯的其他用户群体来预测目标用户的兴趣；后者则侧重于分析特定文章与其他文章之间的关联度。

#### 数据收集与预处理
为了使协同过滤有效工作，需要积累大量的用户交互数据，例如点击、浏览时间长度等指标作为输入特征。这些原始日志通常会经过清洗去除噪声并转换成适合机器学习框架使用的格式。此外，考虑到新加入的内容可能会缺乏足够的评分记录形成冷启动问题，因此还需要设计策略应对这种情况[^4]。

#### 计算相似性度量
无论是采用哪种形式的协同过滤方案，在核心环节都需要计算实体间的相似程度。常用的距离函数包括余弦距离(Cosine Similarity)，皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient)以及调整后的余弦相似度(Adjusted Cosine Similarity)等。这一步骤决定了最终推荐列表的质量高低。

#### 预测未知偏好
一旦建立了有效的相似性评估机制之后就可以着手解决如何估计某位读者未曾接触过的新闻条目的潜在喜好分数了。这里可以通过加权平均法或者其他更复杂的数学模型如矩阵分解(Matrix Factorization)来进行推测。值得注意的是当涉及到大规模稀疏矩阵运算时效率优化变得至关重要[^5]。

#### 推荐结果生成
最后阶段就是利用前面几步得到的信息挑选出最有可能引起当前访问者注意的文章集合呈现给对方查看。实践中往往还会引入一些额外因素比如流行度偏差修正(popularity bias correction),多样性增强(diversification enhancement)等等以改善用户体验。

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

def user_based_recommendation(user_item_matrix, target_user_id, top_n=5):
    """
    实现简单的基于用户的协同过滤推荐
    
    参数:
        user_item_matrix (numpy.ndarray): 用户-项目评分矩阵
        target_user_id (int): 目标用户的ID编号
        top_n (int): 返回前N个最佳匹配
        
    返回值:
        list: 获得最高预期得分的文章索引号组成的列表
    """

    # 计算所有用户两两之间相似性的向量表
    similarity_scores = cosine_similarity(user_item_matrix)

    # 获取指定用户对应的那一行相似分数组
    sim_users = similarity_scores[target_user_id]

    # 找到与此人最为接近却不相同的几位邻居
    nearest_neighbors = np.argsort(sim_users)[-top_n-1:-1][::-1]

    # 初始化一个字典用于存储候选项目的累积权重总和及其计数器
    item_weights = {}
    
    for neighbor_idx in nearest_neighbors:
        rated_items = set(np.where(user_item_matrix[neighbor_idx]>0)[0])
        
        for item in rated_items:
            if item not in item_weights:
                item_weights[item] = [sim_users[neighbor_idx], 1]
            else:
                item_weights[item][0]+=sim_users[neighbor_idx]
                item_weights[item][1]+=1
                
    avg_weighted_ratings = {k:v[0]/v[1] for k,v in item_weights.items()}
                
    recommended_articles = sorted(avg_weighted_ratings.keys(), key=lambda x:avg_weighted_ratings[x], reverse=True)[:top_n]
            
    return recommended_articles


if __name__=='__main__':
    # 创建模拟的数据集
    ratings_data = [
        [5,3,0,1],
        [4,0,0,1],
        [1,1,0,5],
        [1,0,0,4],
        [0,1,5,4]]
    
    users_news_matrix=np.array(ratings_data)
    
    print('为第一个人提供',user_based_recommendation(users_news_matrix, 0))