利用MATLAB代码实现互信息的计算

### 如何在MATLAB中实现互信息计算

为了在MATLAB中实现互信息(Mutual Information, MI)的计算，可以采用基于概率密度估计的方法。MI衡量两个随机变量之间的依赖程度，其定义为：

\[ I(X;Y)=\sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} p(x,y)\log{\left(\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right)} \]

其中 \(X\) 和 \(Y\) 是离散型随机变量；\(p(x,y)\), \(p(x)\)，以及 \(p(y)\) 分别代表联合分布和边缘分布的概率。

下面是一个简单的MATLAB函数来估算给定数据集上的互信息[^1]：

function mi = calc_MI(data_x, data_y, bins)
    % 计算直方图并获得频率作为概率估计
    [counts_xy, ~] = hist3([data_x', data_y'], 'Edges', {bins,bins});
    px = sum(counts_xy,2); py = sum(counts_xy,1);
    
    % 将计数转换成概率
    Pxy = counts_xy / sum(counts_xy(:));
    Px = px / sum(px);
    Py = py' / sum(py);

    % 防止除零错误
    idx = (Pxy ~= 0 & Px ~= 0 & Py ~= 0);
    
    % 使用自然对数计算互信息
    mi = sum(Pxy(idx).* log(Pxy(idx)./(Px(idx).*Py(idx))));
end

此代码接受两组观测值 `data_x` 和 `data_y` 及用于划分这些数据范围的 bin 数量 `bins` 。通过调用内置函数 `hist3()` 来创建二维直方图，并以此为基础构建联合概率矩阵与边际概率向量。最后应用上述公式完成互信息的数值近似求解过程。