最大公约数和最小公倍数递归方程

### 关于最大公约数和最小公倍数的递归方程实现

#### 最大公约数的递归算法
为了求解两个正整数的最大公约数，可以采用欧几里得算法中的递归形式。该方法基于这样一个事实：两个整数 \( a \) 和 \( b \) 的最大公约数等于较小的那个数与两数之差的最大公约数。更正式地说：

如果 \( b \neq 0 \)，则 \( gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) \)[^1]

当余数变为零时，此时的除数即为所求的最大公约数。

以下是Python语言下的具体实现方式：

def gcd_recursive(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd_recursive(b, a % b)

这段代码定义了一个名为`gcd_recursive`的函数，接受参数\(a\)和\(b\), 当\(b\)不为零时继续调用自身并传入新的参数直到找到最大公约数为止[^4]。

#### 最小公倍数的计算
一旦获得了最大公约数之后，就可以很容易地通过下面的关系得到最小公倍数:

\[ lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b) \][^2]

这意味着只需要先调用上述提到的最大公约数函数，然后再应用此公式即可获得任意一对正整数值之间的最小公倍数。

同样给出对应的Python代码片段如下所示：

def lcm(a, b):
    return abs(a*b) // gcd_recursive(a, b)

这里使用了之前编写的`gcd_recursive()` 函数来获取最大公约数，并将其用于计算最小公倍数。注意这里的除法操作采用了地板除(`//`)以确保返回的结果始终是一个整数。