对数正态分布矩母函数

对数正态分布的概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

其中，$\mu$ 和 $\sigma$ 分别为对数正态分布的均值和标准差。

对数正态分布的矩母函数为：

$$M(t)=\int_{0}^{\infty}e^{tx}f(x)dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx\right)dx$$

这个积分式不好求解，但可以通过变量代换将其转化为标准正态分布的矩母函数形式：

$$M(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}e^{t\sigma y+\mu t}dy=e^{\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y-t\sigma)^2}{2}}dy=e^{\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$$

因此，对数正态分布的矩母函数为 $M(t)=e^{\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$。