partial likelihood

Partial likelihood（部分似然）是一种统计学中的概念，用于估计复杂模型参数。它特别适用于那些难以直接对全似然函数求导或计算的模型，比如生存分析中的Cox比例风险模型（Cox Proportional Hazards Model）[^4]。

在Cox模型中，我们关注的是每个观察者在给定其他观察者影响下，他们的风险随时间变化的情况。部分似然方法是这样的：对于每一个观察者，我们只考虑其自身的时间变量（生存时间）和与之相关的协变量（自变量），忽略其他观察者的效应。这样就得到每个观察者的部分似然函数，然后独立地最大化这些函数。

例如，假设我们有一个数据集，其中包含每个人的生存时间和一些特征。Cox部分似然估计可以分解为每个观察者的生存概率，即对于个体i，部分似然为\[ L_i(\beta) = \exp\left(-\int_0^{t_i} h(t | x_i, \beta) dt\right)\]，其中\( h(t | x_i, \beta) \)是风险函数，取决于特征\( x_i \)和参数\( \beta \)。

通过最大化所有观察者的部分似然函数，我们可以得到参数\( \beta \)的估计，而无需构建整个联合分布[^4]。