RC电路状态空间表达式的推导

RC电路的状态空间描述是一种数学模型，用于表示电路的时间动态行为。它通常涉及到两个状态变量，比如电压(V)和电流(I)，这两个变量反映了电路内部的存储能量情况。对于一阶RC电路（如充电或放电电路），其微分方程可以简化为：

1. 对于电容电压V(t)的动态，我们有：

   \frac{dV}{dt} = -\frac{1}{RC} V(t) + I(t)

2. 对于电流I(t)的定义，在无外加源的情况下，仅由V(t)决定：

   I(t) = C \frac{dV}{dt}

将第二个等式代入第一个，我们可以得到关于V(t)的二阶线性常系数微分方程，但这通常转换为一个包含两个一阶微分方程的状态空间形式：

状态向量 \( \vec{x}(t) = \begin{bmatrix} V(t) \\ I(t) \end{bmatrix} \)

状态转移矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{RC} & 0 \end{bmatrix} \)

输入向量 \( B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/C \end{bmatrix} \)

状态响应向量 \( \vec{x}(t) = e^{At}B \cdot u(t) \)，其中\( u(t) \)是外部激励。