围绕一个具体的优化问题，利用合适的优化工具优化问题，描述问题，并给出代码，要求2000字以上

优化问题是许多计算机科学领域中的核心议题，特别是在数据处理、机器学习和软件工程中。一个常见的例子是以最小化时间或资源消耗为目标，对算法性能进行改进。这里我们将探讨如何解决一个问题——例如，优化线性回归模型的求解过程。为了简化，我们将使用梯度下降法作为优化工具，这是一个广泛应用在机器学习中的优化技术。

首先，让我们假设有一个简单的线性回归任务，目标是预测房价基于房屋的一些特征如面积、卧室数等。数学上，我们可以表示为：

\[ \text{minimize} \quad J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x_i) - y_i)^2 \]

其中，\( h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + ... + \theta_nx_n \) 是我们的线性模型，\( x_i \) 是第 \( i \) 个样本的特征向量，\( y_i \) 是对应的标签，\( m \) 是样本总数，而 \( \theta \) 是需要我们寻找的最佳权重参数。

使用梯度下降算法，我们需要迭代更新 \( \theta \)，直到找到全局最小值。每次迭代都会沿着损失函数 \( J(\theta) \) 的负梯度方向移动一小步。以下是使用Python和sklearn库中提供的优化工具进行优化的一个简单示例：

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 加载波士顿房价数据集
boston_data = load_boston()
X = boston_data.data
y = boston_data.target

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建并初始化线性回归模型
model = LinearRegression()
initial_theta = np.zeros((X.shape[1], 1))  # 初始化权重为零向量

# 梯度下降优化
learning_rate = 0.01
num_iterations = 1500  # 设置迭代次数
for _ in range(num_iterations):
    gradient = -(1/m) * X_train.T.dot(X_train @ initial_theta - y_train)  # 计算梯度
    initial_theta -= learning_rate * gradient  # 更新权重

# 预测和评估
predictions = model.predict(X_test)
mse = mean_squared_error(y_test, predictions)
print("Mean Squared Error:", mse)

在这个例子中，我们用sklearn库里的`LinearRegression`自动实现了梯度下降优化，无需显式计算梯度。然而，如果你想要深入了解优化工具的工作原理，可以手动实现梯度的计算和权重的更新。此外，还可以考虑使用更高级的优化库，比如scipy的`optimize.minimize`，它提供了更多的优化选项和功能。

相关问题：
1. 梯度下降法有哪些变种？它们适用于什么样的场景？
2. 如何选择合适的迭代次数和学习率？
3. 在非凸优化问题中，梯度下降可能会遇到哪些挑战？