如何用 MATLAB 编写一个脚本来数学上验证 Parseval's Theorem（帕赛尔定理）？

在 MATLAB 中，你可以编写一个脚本来验证 Parseval's Theorem（帕塞尔定理），该定理指出在一个周期函数的傅立叶变换中，其频谱能量等于原信号在时间域的能量总和。以下是一个简单的步骤说明：

1. 首先，创建一个周期函数作为例子，例如正弦波。假设我们要检查的是一个周期为 `T` 的简单正弦函数：

   x = sin(2*pi*f*t);

2. 计算这个函数在指定区间内的平均平方值，这代表了时间域的能量：

   T = 1; % 假设周期是1秒
   N = length(x); % 获取样本点数
   time_energy = mean(abs(x).^2); % 时间域能量

3. 对这个函数做离散傅立叶变换 (DFT)，计算频域中的幅度和频率：

   X = fft(x); % DFT
   freqs = (0:N-1)*(f_s/N); % 频率数组，假设采样率 f_s
   power_spectrum = abs(X).^2; % 幂谱
   freq_domain_energy = sum(power_spectrum(freqs)); % 频域能量

4. 比较两个能量值，如果它们近似相等，则说明 Parseval's Theorem 成立：

   tolerance = 1e-6; % 容错范围
   if abs(time_energy - freq_domain_energy) < tolerance
       disp('Parseval\'s Theorem验证通过');
   else
       disp(['Parseval\'s Theorem验证失败：时间域能量 = ', num2str(time_energy), ', 频域能量 = ', num2str(freq_domain_energy)]);
   end

在这个脚本中，你需要替换 `f`, `t`, `f_s` 为你实际使用的频率、时间变量以及采样率。