复合辛普森计算二重积分

复合辛普森法则是一种数值积分方法，常用于估计二维区域下的二重积分。它结合了辛普森规则对单变量积分的经验优势，通过将二维积分划分为一系列小矩形，并将每个矩形的面积近似为梯形或三角形的面积来求和。具体步骤如下：

1. 将积分区域划分为行的子区间和列的子区间，例如可以每行划分m个单元，每列n个单元。
2. 对于每个子矩形，如果其边界恰好落在奇数网格点上，则按照辛普森规则（每个边框为3阶多项式近似）计算；如果是偶数网格点，则为两个线性函数加权平均（即4阶近似）。
3. 所有子矩形的贡献相加得到总积分的近似值。

复合辛普森法公式一般表示为：
\[ I \approx \frac{h^2}{3} \left[ (f(x_0, y_0) + f(x_0, y_n) + f(x_m, y_0) + f(x_m, y_n)) \right] + \text{其他矩形的辛普森和} \]
其中，\( h = \frac{\Delta x}{m} \) 或 \( h = \frac{\Delta y}{n} \)，\( f(x_i, y_j) \) 是每个子区域的函数值，\( x_0, x_m, y_0, y_n \) 分别是对应边缘的函数值。

相关问题

复合辛普森计算二重积分 matlab代码

复合辛普森法则是一种数值积分技术，常用于求解二维或多维空间下的二重积分。在MATLAB中，你可以通过`quad2d`函数结合循环结构来实现这一过程。以下是一个简单的示例，展示如何使用复合辛普森法计算二维积分：

% 定义被积函数
function f = integrand(x, y)
    % 这里替换为你实际的函数表达式
    f = x * sin(y) + exp(-x^2 - y^2);
end

% 定义积分区域
a = 0;   % 第一维度的下限
b = 1;   % 第一维度的上限
c = 0;   % 第二维度的下限
d = 1;   % 第二维度的上限

% 设置复合辛普森阶数 (例如，选择3次细分)
n_subdivisions = 3;

% 计算二重积分
integral_result = 0;
for i = 1:n_subdivisions
    for j = 1:n_subdivisions
        % 辛普森系数取决于阶数，这里以3阶为例
        if mod(i+j, 4) == 0
            integral_result += 4/9 * f(sub2ind([n_subdivisions, n_subdivisions], i, j));
        elseif mod(i+j, 4) == 1
            integral_result += 4/3 * f(sub2ind([n_subdivisions, n_subdivisions], i, j));
        else
            integral_result += 4/9 * f(sub2ind([n_subdivisions, n_subdivisions], i, j));
        end
    end
end

integral_result *= h^2;  % 其中h = (b-a)/(n_subdivisions), 平均步长
h = (b-a)/n_subdivisions;  % 计算步长

% 输出结果
disp(['复合辛普森法估计的二重积分值为: ', num2str(integral_result)])

计算二重积分∫∫e^(x y)dxdy，其中0≤x≤1,0≤y≤1，试分别用复合辛普森公式（取n=4）以及高斯求积公式（取n=4）计算积分 给出matlab程序

二重积分 ∫∫ e^(xy) dxdy 在 [0, 1] × [0, 1] 的区域内的值是一个常见的数学问题。我们可以使用数值积分方法，如复合辛普森法则 (Simpson's rule) 和高斯求积公式 (Gaussian quadrature) 来近似计算。

**复合辛普森法则**：
这是一种用于求解函数在区间上定积分的近似方法，对于偶数阶多项式有很好的精度。在这里，我们将把 x-y 平面上的矩形区域分成四个小的梯形区域，然后应用辛普森规则：

% 辛普森公式的参数
n = 4; % 样本点数量
a = 0; % 定义积分下限
b = 1; % 定义积分上限
f = @(x,y) exp(x*y); % 定义被积函数

% 计算每个小梯形的面积和函数值
dx = (b - a) / n;
[xi, yi] = meshgrid(linspace(a, b, n+1), linspace(a, b, n+1));
yi = yi'; % 转置以便形成矩阵
fi = f(xi, yi);

% 辛普森公式计算
integral_Simpson = dx * sum((2/3)*fi(1:n-1,1:n-1) + (4/3)*fi(2:n,2:n)) + (b-a)*fi(n,n);

**高斯求积公式**：
高斯求积法是一种基于特定节点（称为高斯节点）的积分近似，它适用于任意次数的多项式，尤其是当函数比较复杂时。对于四阶，我们通常使用一维的标准高斯节点：

% 高斯节点和权重的生成
[n, w] = quadgk(@(t) sqrt(1-t.^2), 0, 1); % 一维标准正态分布的高斯节点和权重
[xi, yi] = ndgrid(w.*linspace(0, 1, n), w.*linspace(0, 1, n)); % 二维网格

% 函数值
fi = f(xi(:), yi(:));

% 展开并计算积分
integral_Gauss = fi' * xi(:)'; % 因为高斯积分节点对角线是对称的，所以可以直接相乘