复合辛普森计算二重积分

复合辛普森法则是一种数值积分方法，常用于估计二维区域下的二重积分。它结合了辛普森规则对单变量积分的经验优势，通过将二维积分划分为一系列小矩形，并将每个矩形的面积近似为梯形或三角形的面积来求和。具体步骤如下：

1. 将积分区域划分为行的子区间和列的子区间，例如可以每行划分m个单元，每列n个单元。
2. 对于每个子矩形，如果其边界恰好落在奇数网格点上，则按照辛普森规则（每个边框为3阶多项式近似）计算；如果是偶数网格点，则为两个线性函数加权平均（即4阶近似）。
3. 所有子矩形的贡献相加得到总积分的近似值。

复合辛普森法公式一般表示为：
\[ I \approx \frac{h^2}{3} \left[ (f(x_0, y_0) + f(x_0, y_n) + f(x_m, y_0) + f(x_m, y_n)) \right] + \text{其他矩形的辛普森和} \]
其中，\( h = \frac{\Delta x}{m} \) 或 \( h = \frac{\Delta y}{n} \)，\( f(x_i, y_j) \) 是每个子区域的函数值，\( x_0, x_m, y_0, y_n \) 分别是对应边缘的函数值。