计算并输出以下式子的值 s(n)=2/1+3/2+4/3+......+(n+1)/n

### 回答1：
这是一个求和式，表示为s(n)=2/1+3/2+4/3+......+(n+1)/n。

要计算这个式子的值，需要将每一项相加。具体步骤如下：

1. 设定一个变量sum，用于存储每一项相加的结果，初始值为0。

2. 使用循环语句，从1到n遍历每一项，每次将当前项加入sum中。

3. 循环结束后，输出sum的值即可。

下面是具体的代码实现：

n = int(input("请输入n的值："))
sum = 0
for i in range(1, n+1):
sum += (i+1)/i
print("s(n)的值为：", sum)

其中，input函数用于从用户输入中获取n的值，range函数用于生成从1到n的整数序列，+=运算符用于将当前项加入sum中。最后，使用print函数输出sum的值。

### 回答2：
题目中的式子可以表示为：

s(n) = 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (n-1)/n

这是一个数列求和的问题。我们可以使用数学归纳法来证明这个式子。

首先，当n=1时，s(n) = 2/1，结论成立。

假设当n=k时，s(k)成立，即：

s(k) = 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k

现在我们来考虑n=k+1的情况，即：

s(k+1) = 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k + k/(k+1)

将s(k)代入上式中：

s(k+1) = s(k) + k/(k+1)

化简一下：

s(k+1) = 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k + k/(k+1)
= s(k) + k/(k+1)
= 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k + k/(k+1)
+ k/(k+1)

将最后一项分数拆开，并将分子调整为通分后相加：

s(k+1) = 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k + (k+k)/((k+1)*1)
= 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k + (2k)/(k+1)

可以发现，上式的形式和原式非常相似，只不过有多了一项(2k)/(k+1)。所以只需要证明另一个式子：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (k-1)/k + (2k)/(k+1) = (k+2)/(k+1) * (k+1)/2

我们可以使用数学归纳法来证明。

首先，当k=1时，左边的式子为：2/1，右边的式子为：(1+2)/2，两边相等，结论成立。

假设当k=m时，上式成立，即：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2m)/(m+1) = (m+2)/(m+1) * (m+1)/2

现在我们考虑k=m+1的情况，即：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2m)/(m+1) + (2m+1)/(m+2)
= (m+3)/(m+2) * (m+2)/2

将左边式子中的最后两项通分，得：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2m*(m+2)+2(m+1))/(m+1)(m+2)
= (m+3)/(m+2) * (m+2)/2

化简一下：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2m^2+6m+2)/(m+1)(m+2)
= (m+3)/(m+2) * (m+2)/2

将右边式子化简，得：

(m+3)/(m+2) * (m+2)/2 = (m+3)/2

所以，我们只需要证明：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2m^2+6m+2)/(m+1)(m+2) = (m+3)/2

将上述式子变形一下：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2m^2+3m+3m+2)/(m+1)(m+2)
= [(m+1)+(m+2)]/2

又因为：
2m^2+3m+3m+2 = 2(m+1)(m+2) - 5m - 4

所以上式可以进一步变形：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + (2(m+1)(m+2)-5m-4)/(m+1)(m+2)
= [(m+1)+(m+2)]/2

化简一下式子：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + 2 - 5/(m+1) - 4/(m+2) = (2m+3)/2

将上式左边的和式子中，(m+1)项和(m+2)项分别提到等号左边，得：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + 2 = (m+3)/2 + 5/(m+1) + 4/(m+2)

将左边的式子中，(m-1)/m项改写为m/(m+1)-1/(m+1)，得：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + 2 = 1/1 + 1/2 +...+ 1/m + 5/(m+1) + 4/(m+2)

利用调和级数的定义，对于任意正整数n，都有：

1/1 + 1/2 + ... + 1/n > ln(n) + γ

其中，γ是欧拉常数，约为0.577。

所以：

1/1 + 1/2 +...+ 1/m + 5/(m+1) + 4/(m+2) > ln(m) + γ + 5/(m+1) + 4/(m+2)

代回左边的式子：

2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (m-1)/m + 2 > ln(m) + γ + 5/(m+1) + 4/(m+2)

两边同时减去2：

1/1 + 1/2 +...+ 1/m - 1 + 5/(m+1) + 4/(m+2) > ln(m) + γ - 2

将左边的式子拆开：

1/1 + 1/2 +...+ 1/m - 1 = H(m) - 1

其中，H(m)表示调和级数。

于是，上式可以改写为：

H(m) + 5/(m+1) + 4/(m+2) - 1 > ln(m) + γ - 2

当m趋近于无穷大时，左边的式子趋近于无穷大，右边的式子也趋近于无穷大，所以不等式成立。

所以，原式可以表示为：

s(n) = 2/1 + 3/2 + 4/3 + ... + (n-1)/n
= (n+2)/(n+1) * (n+1)/2

这就是原式的求和公式。将n代入公式中，就可以得到s(n)的值了。

### 回答3：
题目意思是求解下面这个数列前 n 项的和：
s(n)=2/1 3/2 4/3 ...... (n 1)/n

这是一个比较典型的分数数列求和问题，我们可以通过数学归纳法来证明这个问题的思路。

首先，当 n=1 时，s(1)=2/1，显然正确。

接下来，假设当 n=k 时，s(k)=2/1+3/2+4/3+...+(k-1)/k，成立。

那么，当 n=k+1 时，s(k+1)=2/1+3/2+4/3+...+(k-1)/k+k/(k+1)

将s(k)和k/(k+1)相加并通分，得到：
s(k+1)=2/1+3/2+4/3+...+(k-1)/k+k/(k(k+1))+(k+1)/(k+1)
s(k+1)=(k+2)/(k+1)+s(k)

因此，我们可以得到递推公式 s(k+1)=(k+2)/(k+1)+s(k)。

根据递推公式，我们就可以利用循环来计算出前 n 项的和了。这里给出 Python 代码：

s = 0.0
n = int(input("请输入n值："))
for i in range(1, n+1):
s = s + (i+1)/(i*1.0+1)
print("s({})={}".format(n, s))

这里，我们利用循环重复计算每一项的值，然后将这些值依次累加起来即可。最后，计算出的结果就是前 n 项的和。

需要注意的是，由于题目中的数值比较大，为了防止数据损失，我们需要在除法计算中将分子或分母强制转换为浮点数。在 Python 中，可以通过 i*1.0 的方式将变量 i 转换为浮点数类型。

总之，这是一个比较基础的分数数列求和的问题，算法较为简单。如果你还有其他关于计算法的问题，可以再次提出。