优化问题中，怎么简单理解 仿射，仿射集，仿射组合，凸集，凸组合，锥，凸锥，正锥的概念

仿射、仿射集、仿射组合、凸集、凸组合、锥、凸锥、正锥都是优化问题中常用的概念，下面我来简单解释一下它们的含义：

1. 仿射：指的是线性变换加上平移，即 $\mathbf{Ax}+\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A}$ 是一个矩阵，$\mathbf{b}$ 是一个向量。

2. 仿射集：指的是由仿射变换后的向量组成的集合。也就是说，对于一个仿射变换 $\mathbf{Ax}+\mathbf{b}$，它将一个向量集合 $\mathcal{X}$ 映射为另一个向量集合 $\mathcal{Y}$，那么 $\mathcal{Y}$ 就称为 $\mathcal{X}$ 的仿射集。

3. 仿射组合：指的是对于一个向量集合 $\mathcal{X}$ 中的向量 $x_1, x_2, \cdots, x_k$，它们的仿射组合表示为 $\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i$，其中 $\sum_{i=1}^k \alpha_i=1$，$\alpha_i\geq 0$。

4. 凸集：指的是对于一个向量集合 $\mathcal{X}$，如果对于任意的 $x_1, x_2 \in \mathcal{X}$，$\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in \mathcal{X}$，其中 $0\leq \theta \leq 1$，则称 $\mathcal{X}$ 是凸集。

5. 凸组合：指的是对于一个向量集合 $\mathcal{X}$ 中的向量 $x_1, x_2, \cdots, x_k$，它们的凸组合表示为 $\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i$，其中 $\sum_{i=1}^k \alpha_i=1$，$\alpha_i\geq 0$。

6. 锥：指的是对于一个向量集合 $\mathcal{X}$，如果对于任意的 $x\in \mathcal{X}$，$\theta x \in \mathcal{X}$，其中 $\theta\geq 0$，则称 $\mathcal{X}$ 是锥。

7. 凸锥：指的是一个凸集和一个锥的交集，即对于一个向量集合 $\mathcal{X}$，如果它既是凸集又是锥，则称 $\mathcal{X}$ 是凸锥。

8. 正锥：指的是一个凸锥中的非空内部，即对于一个向量集合 $\mathcal{X}$，如果 $\mathcal{X}$ 是凸锥且存在一个向量 $x\in \mathcal{X}$，使得对于任意的 $y\in \mathcal{X}$，都有 $\langle x,y\rangle >0$，则称 $\mathcal{X}$ 是正锥。

希望以上解释能够让你更好地理解这些概念。