从期望损失角度解释adaboost,如分布和分类器权重更新的依据。(20')
时间: 2024-03-31 15:32:33 浏览: 34
从期望损失角度解释AdaBoost算法可以分为以下几个步骤:
1. 定义分类器的加权组合函数。对于二分类问题,可以定义分类器的加权组合函数为:
$$ f(x) = sign(\sum_{t=1}^{T} \alpha_t h_t(x)) $$
其中,$h_t(x)$是第$t$个弱分类器,$\alpha_t$是该分类器的权重。
2. 定义损失函数。对于二分类问题,可以定义损失函数为:
$$ L(y, f(x)) = e^{-yf(x)} $$
其中,$y$是样本的真实标签,$f(x)$是分类器的预测标签。该损失函数的特点是,当分类器的预测标签与真实标签一致时,损失函数趋近于0,否则损失函数趋近于无穷大。
3. 定义样本分布。初始时,假设所有样本的分布相等,即:
$$ D_1(i) = \frac{1}{N},\ i=1,2,...,N $$
其中,$N$是样本数量。
4. 迭代更新样本分布和分类器权重。在第$t$轮迭代中,根据上一轮迭代的分类器$h_{t-1}(x)$和样本分布$D_t(i)$,得到本轮迭代的分类器$h_t(x)$和分类器权重$\alpha_t$:
$$ h_t(x) = arg\ min_{h} \sum_{i=1}^{N} D_t(i) L(y_i, h(x_i)) $$
$$ \alpha_t = \frac{1}{2}ln\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t} $$
其中,$\epsilon_t$是分类器$h_t(x)$在样本分布$D_t(i)$下的错误率,即:
$$ \epsilon_t = \sum_{i=1}^{N} D_t(i) [y_i \neq h_t(x_i)] $$
然后,根据分类器权重$\alpha_t$更新样本分布$D_{t+1}(i)$,使得被错误分类的样本权重增加,被正确分类的样本权重减少:
$$ D_{t+1}(i) = \frac{D_t(i)e^{-\alpha_ty_ih_t(x_i)}}{Z_t} $$
其中,$Z_t$是归一化因子,使得$D_{t+1}(i)$满足概率分布的条件。
5. 最终得到加权组合分类器。经过$T$轮迭代后,得到加权组合分类器:
$$ F(x) = sign(\sum_{t=1}^{T} \alpha_t h_t(x)) $$
从期望损失的角度来看,AdaBoost算法的核心思想是通过更新样本分布和分类器权重,使得分类器更加关注难以分类的样本,从而提高整体分类性能。具体来说,当某个样本被错误分类时,它的损失函数较大,因此下一轮迭代时,它的权重会被增加,从而更容易被正确分类;而当某个样本被正确分类时,它的权重会被减少,从而更容易被错误分类。这种样本加权的方法能够使得分类器更加关注那些更难分类的样本,从而提高整体分类性能。同时,分类器的权重$\alpha_t$也是按照当前分类器的错误率$\epsilon_t$计算得到的,错误率越低的分类器权重越大,错误率越高的分类器权重越小,从而保证了每个弱分类器的贡献是合理的。