用pytorch编写在PINN框架下使用fdm替换自动微分的方法

在PyTorch中，为了在 Physics-Informed Neural Networks (PINN) 框架下利用 Finite Difference Method (FDM) 替换自动微分，你需要手动实现梯度计算。PyTorch提供了一个叫做`autograd`的功能，用于自动计算梯度，但我们可以通过自定义操作来计算有限差分。以下是一个简单的示例：

import torch
from torch.autograd import Variable

class CustomAutogradFunction(torch.autograd.Function):

    @staticmethod
    def forward(ctx, input, grad_outputs, step_size=1e-4):
        ctx.save_for_backward(input, grad_outputs, step_size)
        # 使用FDM计算梯度
        with torch.no_grad():
            # 假设我们要对input求一阶导数
            forward_diff = (input + step_size).grad - input.grad
            backward_diff = (input - step_size).grad - input.grad
        return forward_diff + backward_diff * 0.5  # 中心差分的结果

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_output):
        input, _, step_size = ctx.saved_tensors
        grad_input = grad_output.new_tensor(0.)  # 初始化梯度
        # 这里可以使用你之前保存的信息，比如边界条件，来调整计算
        # 在实际应用中这部分可能会更复杂
        return grad_input, None, None

# 使用方法
input = torch.randn(10, 10)  # 假设这是你的网络输入
output = CustomAutogradFunction.apply(input, torch.zeros_like(input))  # 计算梯度
loss.backward()  # 自动更新网络参数

这个例子实现了一个简单的FDM版本的一阶导数计算，但是请注意这只是一个基础版本，真实的实现可能需要考虑到边界条件、偏导数、更高的阶数差异以及其他细节。此外，在大型网络或高维度输入上，这种手工计算的效率会远低于自动微分。