单位矩阵和高斯随机矩阵的克罗内克积是多少

设单位矩阵为 $I_{m \times m}$，高斯随机矩阵为 $G_{n \times n}$，则它们的克罗内克积为一个 $mn \times mn$ 的矩阵，表示为 $I_{m \times m} \otimes G_{n \times n}$。

对于任意的 $i \in [1, m]$ 和 $j \in [1, n]$，$I_{m \times m}$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素为 1，其余元素为 0；$G_{n \times n}$ 的第 $j$ 行第 $j$ 列元素为一个高斯随机变量，其余元素为 0。因此，$I_{m \times m} \otimes G_{n \times n}$ 的第 $(i-1)n+j$ 行第 $(i'-1)n+j'$ 列元素为 $I_{m \times m}$ 的第 $i$ 行第 $i'$ 列元素乘以 $G_{n \times n}$ 的第 $j$ 行第 $j'$ 列元素。

综上，$I_{m \times m} \otimes G_{n \times n}$ 的表达式为
$$
\begin{pmatrix}
G_{n \times n} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & G_{n \times n} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & G_{n \times n}
\end{pmatrix}
$$