矩阵的2范数可以表示为矩阵的最大奇异值,即 $||A||_2=\sigma_1$,其中 $\sigma_1$ 表示矩阵的最大奇异值。证明如下: 首先,假设 $A$ 为 $m\times n$ 的矩阵,且其奇异值分解为 $A=U\Sigma V^T$,其中 $U$ 和 $V$ 分别为 $m\times m$ 和 $n\times n$ 的酉矩阵,$\Sigma$ 为 $m\times n$ 的矩形对角矩阵,其主对角线上的元素为 $\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r$($r=min(m,n)$),其余元素均为零。 则有 $||A||_2=||U\Sigma V^T||_2$,而 $U$ 和 $V$ 都是酉矩阵,故 $||U||_2=||V||_2=1$。同时,$||\Sigma||_2=\sigma_1$,因为 $\Sigma$ 为对角矩阵,其最大元素即为 $\sigma_1$,故 $||A||_2=||U\Sigma V^T||_2=||\Sigma||_2=\sigma_1$,得证。 因此,矩阵的2范数等于其最大奇异值。里面的符合看不懂
时间: 2023-06-08 15:05:40 浏览: 1707
,可以简单解释一下吗?
这段话是关于矩阵的奇异值分解和矩阵范数的知识。奇异值分解是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积,其中一个矩阵为酉矩阵,另外两个矩阵为对角矩阵,而对角矩阵上的值就是该矩阵的奇异值。矩阵的2范数指的是将矩阵看作一个向量,计算其模长,而其模长等于矩阵的最大奇异值。
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