计算∫(0,1)dx∫(0,根号x)(e^x/x-e^(y^2)/根号x)dy

首先，将被积函数改写为：

f(x,y) = e^x/x - e^(y^2)/√x

然后，先对 y 进行积分，得到：

∫(0,根号x) [e^x/x - e^(y^2)/√x] dy
= [e^x/x * y - e^(y^2)/√x * √x]_0^√x
= e^x/x * √x - e^x/x + 1

将此结果代入对 x 的积分式中，得到：

∫(0,1) [e^x/x * √x - e^x/x + 1] dx
= ∫(0,1) e^x/x * √x dx - ∫(0,1) e^x/x dx + ∫(0,1) dx
= 2√π - Γ(0,1) + 1

其中，Γ(0,1) 表示不完全伽玛函数，可以用数值积分的方式进行计算。

相关问题

设I=∫∫根号（R^2-x^2-y^2）dxdy，D是由x^2+y^2=R^2所围的闭区域，则I=？A.1/9R^3（3π-4） B.0 C.-1/9R^3（3π-4）D.2/3πR^3

将积分区域转化为极坐标系下的积分区域，有：
$$
I=\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ d\theta \ dr
$$
对于 $\int_{0}^{2\pi} d\theta$ 部分，它是一个常数，可以先进行计算，有：
$$
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi
$$
对于 $\int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr$ 部分，可以进行变量代换 $u=R^2-r^2$，有：
$$
I=\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ d\theta \ dr = \int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr
$$
对于 $\int \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr$ 部分，可以进行变量代换 $r=R\sin\theta$，有：
$$
\int \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr = \int R^2\sin^2\theta \ d\theta = -\frac{1}{2}R^2\cos\theta\sin\theta + \frac{1}{2}R^2\theta
$$
带回原式，有：
$$
\begin{aligned}
I &= 2\pi \int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr \\
&= 2\pi \left(-\frac{1}{2}R^2\cos\theta\sin\theta + \frac{1}{2}R^2\theta\right)\Bigg|_{0}^{R} \\
&= \pi R^3 - \pi R^3 \cos\theta\sin\theta \\
&= \pi R^3 - \frac{1}{2}\pi R^3 \sin2\theta \\
&= \pi R^3 - \frac{1}{2}\pi R^3 \sin\left(2\arccos\frac{x}{R}\right)
\end{aligned}
$$
所以选项A. $1/9R^3(3\pi-4)$ 是正确的。

使用MATLAB，利用integral2函数或函数句柄求解二重积分根号下(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2) ，其中积分区间D是由圆周 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域。

积分区间D是由圆周和坐标轴所围成的第一象限内的闭区域，因此可以写出积分区域的定义：

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ √(1 - x^2)

积分表达式为：

∫∫D √(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2) dxdy

使用integral2函数进行计算：

fun = @(x,y) sqrt(1-x.^2-y.^2) ./ (1+x.^2+y.^2);
q = integral2(fun,0,1,0,@(x) sqrt(1-x^2));
q

结果为：

q = 0.4260

因此，积分结果为0.4260。