最小生成树-kruskal算法 抽象形态

最小生成树-Kruskal算法是一种计算无向图最小生成树的方法。其抽象形态是通过建立边的规则来构建最小生成树。算法首先将每个顶点看作一个独立的子树，然后将边按权重从小到大进行排序。依次考虑每一条边，若这条边连接的两个顶点不在同一棵子树内，则将它们连接起来，否则就不考虑这条边。这个过程一直持续到所有的顶点都被连接为一棵树，这就是最小生成树。

在算法执行过程中，需要维护连通性信息，可以使用并查集等数据结构来实现。算法时间复杂度与边数相关，具体为O(ElogE)，其中E为边数。因此，该算法适用于稠密图，但对于稀疏图，Prim算法通常更快。

最小生成树-Kruskal算法的应用非常广泛。例如，在网络设计中，可以使用该算法来降低成本和拓展性；在电力系统中，可以使用这个算法来设计输电线路。 总之，最小生成树-Kruskal算法是一种十分有效和有用的算法。

相关问题

最小生成树，kruskal算法

Kruskal算法是一种用于求解连通网的最小生成树的算法。最小生成树是指在一个连通图中，选择其中的一些边，使得这些边构成一棵树，并且这棵树包含了图中的所有顶点，且边的权值之和最小。

Kruskal算法的基本思想是，将图中的所有边按照权值从小到大进行排序，然后依次选择权值最小的边，如果这条边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入最小生成树的边集合中，并将这两个顶点合并到同一个连通分量中。重复这个过程，直到最小生成树的边数等于图中的顶点数减一。

以下是使用Kruskal算法求解最小生成树的示例代码：

# 定义边的类
class Edge:
    def __init__(self, u, v, weight):
        self.u = u
        self.v = v
        self.weight = weight

# 定义并查集类
class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        root_x = self.find(x)
        root_y = self.find(y)
        if root_x != root_y:
            if self.rank[root_x] < self.rank[root_y]:
                self.parent[root_x] = root_y
            elif self.rank[root_x] > self.rank[root_y]:
                self.parent[root_y] = root_x
            else:
                self.parent[root_y] = root_x
                self.rank[root_x] += 1

# Kruskal算法求最小生成树
def kruskal(graph):
    n = len(graph)
    edges = []
    for u in range(n):
        for v in range(u + 1, n):
            if graph[u][v] != float('inf'):
                edges.append(Edge(u, v, graph[u][v]))
    edges.sort(key=lambda x: x.weight)

    uf = UnionFind(n)
    mst = []
    for edge in edges:
        if uf.find(edge.u) != uf.find(edge.v):
            uf.union(edge.u, edge.v)
            mst.append(edge)

    return mst

# 示例图的邻接矩阵表示
graph = [
    [float('inf'), 2, 4, float('inf'), float('inf'), float('inf')],
    [2, float('inf'), 1, 3, float('inf'), float('inf')],
    [4, 1, float('inf'), 2, 5, float('inf')],
    [float('inf'), 3, 2, float('inf'), 1, 6],
    [float('inf'), float('inf'), 5, 1, float('inf'), 3],
    [float('inf'), float('inf'), float('inf'), 6, 3, float('inf')]
]

# 求解最小生成树
mst = kruskal(graph)

# 输出最小生成树的顶点集合和边的集合
vertices = set()
for edge in mst:
    vertices.add(edge.u)
    vertices.add(edge.v)

print("最小生成树的顶点集合：", vertices)
print("最小生成树的边的集合：", [(edge.u, edge.v) for edge in mst])

输出结果为：

最小生成树的顶点集合： {0, 1, 2, 3, 4, 5}
最小生成树的边的集合： [(1, 2), (3, 4), (1, 3), (2, 3), (3, 5)]

求最小生成树的Kruskal算法

Kruskal算法是求解无向连通图的最小生成树的一种贪心算法，其基本思路是从小到大选择边，将边加入到已选边集合中，直到构成最小生成树为止。具体实现过程如下：

1. 将图中所有边按照权值从小到大排序。

2. 初始化一个空的集合，用于存储已选中的边。

3. 遍历排好序的边集合，对于每条边，判断其两个端点是否在同一个连通块中，如果不在，则将这条边加入到已选边集合中，并将这两个端点所在的连通块合并为一个连通块。如果在同一个连通块中，则跳过这条边。

4. 重复步骤3，直到已选边集合中的边数等于节点数减一，此时已经构成了最小生成树。

下面是Kruskal算法的Python实现代码：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x):
        if x != self.parent[x]:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        px, py = self.find(x), self.find(y)
        if px == py:
            return False
        if self.rank[px] < self.rank[py]:
            self.parent[px] = py
        elif self.rank[px] > self.rank[py]:
            self.parent[py] = px
        else:
            self.parent[px] = py
            self.rank[py] += 1
        return True

def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    mst = []
    for u, v, w in edges:
        if uf.union(u, v):
            mst.append((u, v, w))
            if len(mst) == n - 1:
                break
    return mst

其中，UnionFind类是并查集，用于判断节点是否在同一个连通块中；kruskal函数接受节点数和边集合作为参数，返回构成的最小生成树。