最小生成树-kruskal算法 抽象形态

最小生成树-Kruskal算法是一种计算无向图最小生成树的方法。其抽象形态是通过建立边的规则来构建最小生成树。算法首先将每个顶点看作一个独立的子树，然后将边按权重从小到大进行排序。依次考虑每一条边，若这条边连接的两个顶点不在同一棵子树内，则将它们连接起来，否则就不考虑这条边。这个过程一直持续到所有的顶点都被连接为一棵树，这就是最小生成树。

在算法执行过程中，需要维护连通性信息，可以使用并查集等数据结构来实现。算法时间复杂度与边数相关，具体为O(ElogE)，其中E为边数。因此，该算法适用于稠密图，但对于稀疏图，Prim算法通常更快。

最小生成树-Kruskal算法的应用非常广泛。例如，在网络设计中，可以使用该算法来降低成本和拓展性；在电力系统中，可以使用这个算法来设计输电线路。 总之，最小生成树-Kruskal算法是一种十分有效和有用的算法。

相关问题

求最小生成树的Kruskal算法

Kruskal算法是求解无向连通图的最小生成树的一种贪心算法，其基本思路是从小到大选择边，将边加入到已选边集合中，直到构成最小生成树为止。具体实现过程如下：

1. 将图中所有边按照权值从小到大排序。

2. 初始化一个空的集合，用于存储已选中的边。

3. 遍历排好序的边集合，对于每条边，判断其两个端点是否在同一个连通块中，如果不在，则将这条边加入到已选边集合中，并将这两个端点所在的连通块合并为一个连通块。如果在同一个连通块中，则跳过这条边。

4. 重复步骤3，直到已选边集合中的边数等于节点数减一，此时已经构成了最小生成树。

下面是Kruskal算法的Python实现代码：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x):
        if x != self.parent[x]:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        px, py = self.find(x), self.find(y)
        if px == py:
            return False
        if self.rank[px] < self.rank[py]:
            self.parent[px] = py
        elif self.rank[px] > self.rank[py]:
            self.parent[py] = px
        else:
            self.parent[px] = py
            self.rank[py] += 1
        return True

def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    mst = []
    for u, v, w in edges:
        if uf.union(u, v):
            mst.append((u, v, w))
            if len(mst) == n - 1:
                break
    return mst

其中，UnionFind类是并查集，用于判断节点是否在同一个连通块中；kruskal函数接受节点数和边集合作为参数，返回构成的最小生成树。

c语言 最小生成树 包含Kruskal算法代码

### 回答1：
以下是用C语言实现Kruskal算法的代码，该算法可以生成一棵最小生成树：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_EDGE_NUM 1000
#define MAX_VERTEX_NUM 100

// 定义边的结构体
typedef struct {
    int u, v; // 两个顶点
    int w; // 权值
} Edge;

// 定义并查集结构体
typedef struct {
    int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 每个顶点的父节点
    int rank[MAX_VERTEX_NUM]; // 每个顶点的秩
} UnionFindSet;

// 初始化并查集
void makeSet(UnionFindSet* set, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        set->parent[i] = i;
        set->rank[i] = 0;
    }
}

// 查找节点x所在集合的根节点
int find(UnionFindSet* set, int x) {
    if (set->parent[x] != x) {
        set->parent[x] = find(set, set->parent[x]);
    }
    return set->parent[x];
}

// 合并两个节点所在的集合
void unionSet(UnionFindSet* set, int x, int y) {
    int rootX = find(set, x);
    int rootY = find(set, y);
    if (rootX != rootY) {
        if (set->rank[rootX] > set->rank[rootY]) {
            set->parent[rootY] = rootX;
        } else if (set->rank[rootX] < set->rank[rootY]) {
            set->parent[rootX] = rootY;
        } else {
            set->parent[rootY] = rootX;
            set->rank[rootX]++;
        }
    }
}

// Kruskal算法
void kruskal(Edge* edges, int n, int m) {
    UnionFindSet set;
    makeSet(&set, n);
    Edge result[MAX_VERTEX_NUM];
    int count = 0;
    int i = 0;
    while (count < n - 1) {
        Edge e = edges[i++];
        int u = e.u;
        int v = e.v;
        int w = e.w;
        if (find(&set, u) != find(&set, v)) {
            result[count++] = e;
            unionSet(&set, u, v);
        }
    }
    for (int i = 0; i < count; i++) {
        printf("(%d, %d) %d\n", result[i].u, result[i].v, result[i].w);
    }
}

// 测试
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    Edge edges[MAX_EDGE_NUM];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
    }
    kruskal(edges, n, m);
    return 0;
}

其中，makeSet函数用于初始化并查集；find函数用于查找节点所在的集合的根节点；unionSet函数用于合并两个节点所在的集合。kruskal函数是Kruskal算法的实现，它先将所有边按权值从

### 回答2：
Kruskal算法是一种用于解决最小生成树问题的经典算法，下面是使用C语言实现Kruskal算法的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义边的结构体
typedef struct {
    int source; // 边的起点
    int destination; // 边的终点
    int weight; // 边的权重
} Edge;

// 定义并查集的结构体
typedef struct {
    int *parent; // 每个节点的父节点
    int *rank; // 每个节点的秩
} DisjointSet;

// 初始化并查集
void makeSet(DisjointSet *ds, int n) {
    ds->parent = (int *)malloc((n+1) * sizeof(int));
    ds->rank = (int *)malloc((n+1) * sizeof(int));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ds->parent[i] = i;
        ds->rank[i] = 0;
    }
}

// 查找节点的根节点
int find(DisjointSet *ds, int x) {
    if (ds->parent[x] != x) {
        ds->parent[x] = find(ds, ds->parent[x]);
    }
    return ds->parent[x];
}

// 合并两个集合
void unionSets(DisjointSet *ds, int x, int y) {
    int rootX = find(ds, x);
    int rootY = find(ds, y);
    if (ds->rank[rootX] < ds->rank[rootY]) {
        ds->parent[rootX] = rootY;
    } else if (ds->rank[rootX] > ds->rank[rootY]) {
        ds->parent[rootY] = rootX;
    } else {
        ds->parent[rootY] = rootX;
        ds->rank[rootX]++;
    }
}

// Kruskal算法求最小生成树
void kruskal(Edge *edges, int n, int m) {
    // 对所有边按权重进行升序排序
    for (int i = 0; i < m-1; i++) {
        for (int j = 0; j < m-i-1; j++) {
            if (edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
                Edge temp = edges[j];
                edges[j] = edges[j+1];
                edges[j+1] = temp;
            }
        }
    }
    
    // 初始化并查集
    DisjointSet ds;
    makeSet(&ds, n);
    
    // 选取边构建最小生成树
    int numEdges = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int sourceRoot = find(&ds, edges[i].source);
        int destinationRoot = find(&ds, edges[i].destination);
        
        if (sourceRoot != destinationRoot) {
            printf("选择边 (%d, %d) 权重为 %d\n", edges[i].source, edges[i].destination, edges[i].weight);
            unionSets(&ds, sourceRoot, destinationRoot);
            numEdges++;
            
            if (numEdges == n-1) {
                break;
            }
        }
    }
    
    // 释放内存
    free(ds.parent);
    free(ds.rank);
}

// 主函数示例
int main() {
    // 按照以下结构初始化边的数组
    Edge edges[] = {
        {1, 2, 4},
        {1, 3, 1},
        {2, 3, 2},
        {2, 4, 1},
        {3, 4, 5}
    };
    int numNodes = 4; // 节点个数
    int numEdges = 5; // 边的个数
    
    printf("最小生成树的边为：\n");
    kruskal(edges, numNodes, numEdges);
    
    return 0;
}

以上是使用C语言实现Kruskal算法的代码，代码中使用了并查集数据结构和排序算法来实现Kruskal算法的核心步骤。该算法通过选择边的方式构建最小生成树，并且保证构成的图是连通的且权重之和最小。

### 回答3：
Kruskal算法是一种常用于求解最小生成树的算法，它的基本思想是：首先对边按照权重从小到大进行排序，然后从权重最小的边开始，依次选择边加入最小生成树的集合中，直到最小生成树包含了所有的顶点。

下面是C语言实现Kruskal算法的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAXV 100      // 最大顶点数
#define MAXE 10000    // 最大边数

typedef struct {
    int u, v;   // 边的两个顶点
    int weight; // 边的权重
} Edge;

typedef struct {
    int parent; // 并查集中的父节点
    int rank;   // 并查集中的秩
} UnionFind;

int cmp(const void *a, const void *b) {
    return ((Edge*)a)->weight - ((Edge*)b)->weight;
}

int find(UnionFind* uf, int x) {
    if (uf[x].parent != x) {
        uf[x].parent = find(uf, uf[x].parent);
    }
    return uf[x].parent;
}

void merge(UnionFind* uf, int x, int y) {
    int rootX = find(uf, x);
    int rootY = find(uf, y);
    if (rootX != rootY) {
        if (uf[rootX].rank < uf[rootY].rank) {
            uf[rootX].parent = rootY;
        } else if (uf[rootX].rank > uf[rootY].rank) {
            uf[rootY].parent = rootX;
        } else {
            uf[rootY].parent = rootX;
            uf[rootX].rank++;
        }
    }
}

void Kruskal(Edge* edges, int n, int m) {
    UnionFind uf[MAXV];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        uf[i].parent = i;
        uf[i].rank = 0;
    }

    qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);

    int selected = 0;   // 已选取的边数
    int index = 0;      // 当前考虑的边下标
    int cost = 0;       // 最小生成树的总权重
    while (selected < n - 1 && index < m) {
        int u = edges[index].u;
        int v = edges[index].v;
        if (find(uf, u) != find(uf, v)) {   // 判断加入的边是否形成环路
            merge(uf, u, v);
            printf("选取边: %d-%d, 权重: %d\n", u, v, edges[index].weight);
            cost += edges[index].weight;
            selected++;
        }
        index++;
    }

    printf("最小生成树的总权重为: %d\n", cost);
}

int main() {
    int n, m;   // 顶点数和边数
    scanf("%d %d", &n, &m);

    Edge edges[MAXE];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d %d %d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].weight);
    }

    Kruskal(edges, n, m);

    return 0;
}

以上是Kruskal算法的C语言实现示例，通过对边进行排序，并使用并查集数据结构来判断边是否形成环路，从而构建最小生成树。算法的时间复杂度为O(ElogE)，E为边数。