求逆矩阵的详细步骤并举出一个例子

求逆矩阵的步骤：

1. 确认矩阵存在逆矩阵，即矩阵的行列式不为0。
2. 构建增广矩阵，即将矩阵和单位矩阵按列合并。
3. 利用初等行变换将增广矩阵化为左侧为单位矩阵的形式。
4. 取右侧矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

下面以一个3阶矩阵为例进行说明。设原矩阵为A，其逆矩阵为A^-1。

先判断矩阵A是否存在逆矩阵：

A = [1 2 1; 2 0 1; 1 1 0]
|A| = 1*0*0 + 2*1*1 + 1*2*1 - 1*0*1 - 2*1*0 - 1*2*1 = -1
因为 |A| ≠ 0，所以矩阵A存在逆矩阵。

构建增广矩阵：

[A I] = [1 2 1 1 0 0; 2 0 1 0 1 0; 1 1 0 0 0 1]

利用初等行变换将增广矩阵化为左侧为单位矩阵的形式：

1. 将第1行乘以2，再减去第2行，得到新的第1行为[0 4 -1 -1 2 0]；
2. 将新的第1行乘以1/4，得到新的第1行为[0 1 -1/4 -1/4 1/2 0]；
3. 将新的第1行加上原来的第2行，得到新的第2行为[2 0 1 0 1 0]；
4. 将新的第2行乘以1/2，得到新的第2行为[1 0 1/2 0 1/2 0]；
5. 将新的第2行减去原来的第1行，得到新的第1行为[0 1 -1/4 -1/4 1/2 0]；
6. 将新的第2行减去原来的第3行，得到新的第3行为[0 -1/2 1/4 1/4 -1/2 1]；
7. 将新的第3行乘以-2，得到新的第3行为[0 1 -1/2 -1/2 1 0]；
8. 将新的第3行加上原来的第1行，得到新的第1行为[0 1 0 -1/2 3/4 0]；
9. 将新的第3行加上原来的第2行，得到新的第2行为[1 0 0 1/2 -1/4 0]；
10. 将新的第3行乘以-4/3，得到新的第3行为[0 -4/3 2/3 2/3 -4/3 4/3]；
11. 将新的第3行加上原来的第2行，得到新的第2行为[1 0 0 0 0 -4/3]；
12. 将新的第3行加上原来的第1行，得到新的第1行为[0 1 0 0 1 -2/3]。

取右侧矩阵即为原矩阵的逆矩阵：

A^-1 = [0 1 0; -1/2 -1/4 1/2; -2/3 1 -4/3]

可以验证A*A^-1=I，A^-1*A=I，即矩阵A的逆矩阵求解正确。