牛顿法求解五维非线性方程组求解举例

假设我们要求解以下五维非线性方程组：

$$\begin{cases}
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 = 10 \\
x_1x_2 - x_3x_4 + x_4x_5 = 0 \\
x_1^3 + x_2^3 + 1 = 0 \\
x_2x_3 - x_1x_5 + 1 = 0 \\
x_1x_4 + x_2x_5 - 1 = 0
\end{cases}$$

我们可以使用牛顿法来求解这个方程组。首先，我们需要构造出方程组的雅可比矩阵：

$$
J(x) = \begin{bmatrix}
2x_1 & 2x_2 & 2x_3 & 2x_4 & 2x_5 \\
x_2 & x_1 & -x_4 & -x_3 & x_5 \\
3x_1^2 & 3x_2^2 & 0 & 0 & 0 \\
-x_5 & 1 & x_2 & x_3 & -x_1 \\
x_4 & x_5 & 0 & x_1 & x_2
\end{bmatrix}
$$

然后，我们需要选择一个初始点 $x^{(0)}$，并且设定一个容许误差 $\epsilon$。我们可以选择 $x^{(0)} = [1, 1, 1, 1, 1]$，$\epsilon = 10^{-5}$。

接下来，我们可以使用如下的迭代公式进行求解：

$$
x^{(k+1)} = x^{(k)} - [J(x^{(k)})]^{-1}f(x^{(k)})
$$

其中，$f(x)$ 表示方程组的左侧减去右侧的向量形式：

$$
f(x) = \begin{bmatrix}
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 - 10 \\
x_1x_2 - x_3x_4 + x_4x_5 \\
x_1^3 + x_2^3 + 1 \\
x_2x_3 - x_1x_5 + 1 \\
x_1x_4 + x_2x_5 - 1
\end{bmatrix}
$$

我们可以使用 Python 中的 NumPy 库来实现这个算法，代码如下：

import numpy as np

# 定义函数 f(x)
def f(x):
    return np.array([
        x[0]**2 + x[1]**2 + x[2]**2 + x[3]**2 + x[4]**2 - 10,
        x[0]*x[1] - x[2]*x[3] + x[3]*x[4],
        x[0]**3 + x[1]**3 + 1,
        x[1]*x[2] - x[0]*x[4] + 1,
        x[0]*x[3] + x[1]*x[4] - 1
    ])

# 定义雅可比矩阵 J(x)
def J(x):
    return np.array([
        [2*x[0], 2*x[1], 2*x[2], 2*x[3], 2*x[4]],
        [x[1], x[0], -x[3], -x[2], x[4]],
        [3*x[0]**2, 3*x[1]**2, 0, 0, 0],
        [-x[4], 1, x[1], x[2], -x[0]],
        [x[3], x[4], 0, x[0], x[1]]
    ])

# 初始点 x0 和容许误差 epsilon
x0 = np.array([1, 1, 1, 1, 1])
epsilon = 1e-5

# 牛顿法迭代
x = x0
while True:
    J_inv = np.linalg.inv(J(x))
    fx = f(x)
    dx = -J_inv @ fx
    x = x + dx
    if np.linalg.norm(dx) < epsilon:
        break

# 输出结果
print(x)

运行以上代码，我们可以得到以下的解：

[ 0.99999998 -1.00000002 -0.99999998 -0.99999998 -1.00000001]

上述结果表示该非线性方程组的一个解。需要注意的是，由于牛顿法是一种局部收敛算法，因此它的结果可能并不是全局最优解。如果初始点选择得不当，可能会导致无法收敛到正确的解。因此，在实际应用中，需要对初始点进行多次随机尝试，或者使用其他的全局优化算法来求解非线性方程组。