如何求解目标函数为F(x) = (||y - Ax||_2)^2 + λ||x||_1的最小L1范数解x？

这是一个典型的线性最小化问题结合L1正则化的案例，通常用于稀疏信号恢复或者特征选择。给定的目标函数F(x)可以分解为两部分：一部分是数据拟合项||y - Ax||_2^2，它表示预测值y与模型预测Ax之间的残差平方；另一部分是λ||x||_1，这是Lasso回归中的正则化项，λ控制着正则化强度，使得x向量倾向于变得更稀疏。

解决这个问题的一般方法是使用迭代算法，如 proximal gradient descent (proximal梯度下降法) 或者其变种，如ISTA (Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm，迭代收缩阈值算法) 或 FISTA (Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm，快速迭代收缩阈值算法)。这类算法需要以下步骤：

1. 初始化x。
2. 对于每个迭代步骤k+1：
a. 计算梯度：∇_x F(x_k) = -2A^T(Ax_k - y) + 2λsign(x_k)
b. 使用投影操作：x_{k+1} = prox_{λ/2 ||.||_1}(x_k - α * ∇_x F(x_k))，其中α是学习率，prox函数是L1范数的软阈值操作。
c. 可能还需要考虑步长调整、早停等策略优化收敛速度。

执行足够多的迭代后，当残差||y - Ax||_2^2不再明显减小或达到预设的停止条件，就得到了近似最小L1范数的解x。