利用线性代数矩阵求空间向量距离

假设空间中有两个向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：

$$d=\|\vec{v}-\vec{w}\|=\sqrt{(\vec{v}-\vec{w})^T(\vec{v}-\vec{w})}$$

其中 $^T$ 表示矩阵的转置，$(\vec{v}-\vec{w})^T(\vec{v}-\vec{w})$ 是一个标量，表示两个向量的差向量的长度的平方。

可以将两个向量看作两个列向量，并将它们放在一个矩阵 $\boldsymbol{V}$ 中：

$$\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}\vec{v} & \vec{w}\end{bmatrix}$$

则 $(\vec{v}-\vec{w})^T(\vec{v}-\vec{w})$ 可以表示为：

$$(\vec{v}-\vec{w})^T(\vec{v}-\vec{w})=(\boldsymbol{V}\boldsymbol{d})^T(\boldsymbol{V}\boldsymbol{d})=\boldsymbol{d}^T\boldsymbol{V}^T\boldsymbol{V}\boldsymbol{d}$$

其中 $\boldsymbol{d}=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\end{bmatrix}$ 是差向量的列向量表示。

因此，两个向量的距离可以表示为：

$$d=\sqrt{\boldsymbol{d}^T\boldsymbol{V}^T\boldsymbol{V}\boldsymbol{d}}$$

这样就可以通过矩阵运算来计算两个向量的距离了。