假设数据集中给出了三种信用评分卡(信用评分卡1、信用评分卡2、信用评分卡3),需要设置它们对应的阈值,以使最终收入最多。需要将该问题建模并转换为 QUBO 格式,并进行求解。
时间: 2024-05-26 08:16:13 浏览: 160
首先,需要定义一些变量和常量:
- $x_i$:表示第 $i$ 个人是否被授信,$x_i=1$ 表示授信,$x_i=0$ 表示不授信。
- $y_i$:表示第 $i$ 个人使用的信用评分卡类型,$y_i=1$ 表示使用信用评分卡1,$y_i=2$ 表示使用信用评分卡2,$y_i=3$ 表示使用信用评分卡3。
- $s_i$:表示第 $i$ 个人的收入。
- $t_j$:表示信用评分卡 $j$ 的阈值。
- $c_{ij}$:表示使用信用评分卡 $j$ 对第 $i$ 个人进行授信的收益。
根据题目要求,需要设置阈值以使最终收入最多,因此需要最大化总收入,即:
$$
\max \sum_i s_i x_i
$$
同时,需要满足以下限制条件:
- 每个人只能使用一个信用评分卡:
$$
\sum_j y_i = 1, \forall i
$$
- 对于使用特定信用评分卡的人,其授信决策应该符合该评分卡的阈值要求:
$$
x_i \leq c_{i, y_i}, \forall i
$$
将以上限制条件转化为 QUBO 格式:
- 将第一个限制条件转化为 QUBO 格式:
$$
\begin{aligned}
&\sum_j y_i = 1, \forall i \\
\Rightarrow &\sum_j (y_i - y_j)^2 = 0, \forall i \neq j \\
\Rightarrow &\frac{1}{2} \sum_j (y_i^2 - 2y_i y_j + y_j^2 - 2y_i + 2y_j) = 0, \forall i \neq j \\
\Rightarrow &\frac{1}{2} \sum_j (-2y_i y_j + y_i^2 + y_j^2 - 2y_i + 2y_j) = 0, \forall i \neq j \\
\Rightarrow &\sum_j (-y_i y_j + \frac{1}{2} y_i^2 + \frac{1}{2} y_j^2 - y_i + y_j) = 0, \forall i \neq j \\
\Rightarrow &\sum_j -y_i y_j + \frac{1}{2} \sum_j y_i^2 + \frac{1}{2} \sum_j y_j^2 - \sum_j y_i + \sum_j y_j = 0 \\
\Rightarrow &\sum_j -y_i y_j + \frac{1}{2} \sum_j y_i^2 + \frac{1}{2} \sum_j y_j^2 - N + \sum_j y_j = 0 \\
\Rightarrow &\sum_j -y_i y_j + \frac{1}{2} \sum_j y_i^2 + \frac{1}{2} \sum_j y_j^2 - N = -\sum_j y_j
\end{aligned}
$$
其中,$N$ 表示人数。
- 将第二个限制条件转化为 QUBO 格式:
$$
\begin{aligned}
&x_i \leq c_{i, y_i}, \forall i \\
\Rightarrow &\sum_j (c_{i, y_i} - x_i)^2 = 0, \forall i \\
\Rightarrow &\frac{1}{2} \sum_j (c_{i, y_i}^2 - 2c_{i, y_i} x_i + x_i^2) = 0, \forall i \\
\Rightarrow &\frac{1}{2} \sum_j (-2c_{i, y_i} x_i + c_{i, y_i}^2 + x_i^2) = 0, \forall i \\
\Rightarrow &\sum_j -c_{i, y_i} x_i + \frac{1}{2} \sum_j c_{i, y_i}^2 + \frac{1}{2} \sum_j x_i^2 = 0, \forall i \\
\Rightarrow &\sum_j -c_{i, y_i} x_i + \frac{1}{2} \sum_j c_{i, y_i}^2 + \frac{1}{2} \sum_j x_i^2 - Nt_{y_i} = -Nt_{y_i}
\end{aligned}
$$
综合以上结果,可以得到 QUBO 目标函数:
$$
H = \sum_i s_i x_i - \sum_j (-y_i y_j + \frac{1}{2} \sum_j y_i^2 + \frac{1}{2} \sum_j y_j^2 - N + \sum_j y_j) - \sum_i (-c_{i, y_i} x_i + \frac{1}{2} \sum_j c_{i, y_i}^2 + \frac{1}{2} \sum_j x_i^2 - Nt_{y_i})
$$
将其转化为矩阵形式:
$$
H = \mathbf{x}^T Q_0 \mathbf{x} + \mathbf{y}^T Q_1 \mathbf{y} + \mathbf{x}^T Q_2 \mathbf{x} + \mathbf{y}^T Q_3 \mathbf{y} + \mathbf{x}^T Q_4 \mathbf{x} + \mathbf{y}^T Q_5 \mathbf{y} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}
$$
其中,
$$
\begin{aligned}
Q_0 &= \sum_i s_i \\
Q_1 &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(N-1) & -1 & -1 \\
-1 & \frac{1}{2}(N-1) & -1 \\
-1 & -1 & \frac{1}{2}(N-1)
\end{pmatrix} \\
Q_2 &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(\sum_j c_{1,j}^2 + N) & -\frac{1}{2} \sum_j c_{1,j} & -\frac{1}{2} \sum_j c_{1,j} \\
-\frac{1}{2} \sum_j c_{2,j} & \frac{1}{2}(\sum_j c_{2,j}^2 + N) & -\frac{1}{2} \sum_j c_{2,j} \\
-\frac{1}{2} \sum_j c_{3,j} & -\frac{1}{2} \sum_j c_{3,j} & \frac{1}{2}(\sum_j c_{3,j}^2 + N)
\end{pmatrix} \\
Q_3 &= \begin{pmatrix}
-N & 1 & 1 \\
1 & -N & 1 \\
1 & 1 & -N
\end{pmatrix} \\
Q_4 &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(N-1) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2}(N-1) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{2}(N-1)
\end{pmatrix} \\
Q_5 &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
\mathbf{c_i} &= (-Nt_1, -Nt_2, -Nt_3)
\end{aligned}
$$
因此,可以使用 QUBO 求解器对上述 QUBO 问题进行求解,得到最优解。
阅读全文