全微分方程的充要条件证明

全微分方程是指可以写成形式为 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 的方程，其中 $M$ 和 $N$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的可微函数。

充分性证明：

如果 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 是全微分方程，那么存在一个函数 $u(x,y)$ 满足：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y),\quad\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$$

因此，我们可以通过对 $u(x,y)$ 求偏导数来得到：

$$\mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y=M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y$$

这意味着 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 可以被写成 $\mathrm{d}u=0$ 的形式，也就是说，它是一个恰当的微分方程。

必要性证明：

如果 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 是一个恰当的微分方程，那么存在一个函数 $u(x,y)$ 满足：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y),\quad\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$$

我们可以通过偏导数的定义来证明这一点。因为 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 是可微的，所以它们是连续的，那么根据多元微积分中的 Schwarz 定理，我们可以得到：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$$

这意味着 $\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}=0$，也就是说，$u(x,y)$ 是一个二阶连续可微函数。因此，我们可以使用 Clairaut 定理来得到：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$$

因此，我们得到：

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$

这表明 $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 是一个全微分方程。