C语言实现eig算法

C语言实现矩阵的特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）算法，通常涉及到数值线性代数的部分，特别是用于计算方阵的对角化。这里简要介绍一下基本步骤，并非完整的源代码，因为C语言本身并不内置支持这类高级数学运算，通常需要借助外部库如BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）或LAPACK（Linear Algebra PACKage）。

1. **初始化矩阵**：首先，你需要定义一个二维数组表示矩阵，并读取输入数据。

2. **求特征值和特征向量**：计算特征值和特征向量的一个常用方法是QR分解法（QR algorithm）。步骤大致包括：
- 定义一个初始矩阵`A`。
- 进行QR分解，得到`Q`和`R`矩阵，其中`A = QR`。
- 算出初步估计的特征值λ，通常是`R`的主对角线元素。
- 使用牛顿迭代法（Newton's method）或更精确的算法如雅可比迭代法调整λ，直到满足停止条件。
- 对于每个特征值λ，解线性系统`Rv = λQ^T * v`找到对应的特征向量v。

3. **验证结果**：最后，检查计算得到的特征值和特征向量是否满足特征值方程`Av = λv`。

C语言中可以使用`math.h`库的一些函数进行基本的矩阵乘法和数值计算，但以上过程可能会比较复杂，实际编写时会参考相应的数学库或使用已经封装好的数值计算库。

相关问题

以鸢尾花数据为例，用C语言实现PCA算法，并求出4个主成分的贡献率。

PCA算法是一种常用的降维算法，可以将高维数据降到低维，保留数据的主要信息。以下是用C语言实现PCA算法的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define N 150 // 样本数
#define M 4   // 特征数

// 求平均值
void mean(double data[N][M], double mean[M])
{
    int i, j;
    for (j = 0; j < M; j++) {
        mean[j] = 0;
        for (i = 0; i < N; i++) {
            mean[j] += data[i][j];
        }
        mean[j] /= N;
    }
}

// 求协方差矩阵
void cov(double data[N][M], double cov[M][M], double mean[M])
{
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < M; i++) {
        for (j = 0; j < M; j++) {
            cov[i][j] = 0;
            for (k = 0; k < N; k++) {
                cov[i][j] += (data[k][i] - mean[i]) * (data[k][j] - mean[j]);
            }
            cov[i][j] /= (N - 1);
        }
    }
}

// 求特征值和特征向量
void eig(double cov[M][M], double eigval[M], double eigvec[M][M])
{
    int i, j;
    double eps = 1e-8;
    double tmp[M][M];
    for (i = 0; i < M; i++) {
        for (j = 0; j < M; j++) {
            tmp[i][j] = cov[i][j];
        }
    }
    // 对称矩阵迭代法
    while (1) {
        double max = 0;
        int p, q;
        for (i = 0; i < M; i++) {
            for (j = i + 1; j < M; j++) {
                double aii = tmp[i][i];
                double ajj = tmp[j][j];
                double aij = tmp[i][j];
                double bij = 2 * aij / (aii - ajj);
                double t = bij > 0 ? -bij + sqrt(1 + bij * bij) : -bij - sqrt(1 + bij * bij);
                double c = 1 / sqrt(1 + t * t);
                double s = t * c;
                double aik, ajk;
                for (k = 0; k < M; k++) {
                    aik = tmp[i][k];
                    ajk = tmp[j][k];
                    tmp[i][k] = c * aik - s * ajk;
                    tmp[j][k] = s * aik + c * ajk;
                }
                for (k = 0; k < M; k++) {
                    aik = tmp[k][i];
                    ajk = tmp[k][j];
                    tmp[k][i] = c * aik - s * ajk;
                    tmp[k][j] = s * aik + c * ajk;
                }
            }
        }
        // 判断是否收敛
        for (i = 0; i < M; i++) {
            for (j = i + 1; j < M; j++) {
                if (fabs(tmp[i][j]) > max) {
                    max = fabs(tmp[i][j]);
                    p = i;
                    q = j;
                }
            }
        }
        if (max < eps) {
            break;
        }
    }
    // 特征向量矩阵
    for (i = 0; i < M; i++) {
        for (j = 0; j < M; j++) {
            eigvec[j][i] = tmp[j][i];
        }
    }
    // 特征值向量
    for (i = 0; i < M; i++) {
        eigval[i] = tmp[i][i];
    }
}

int main()
{
    int i, j;
    double data[N][M];
    // 读取数据
    FILE *fp = fopen("iris.data", "r");
    if (!fp) {
        printf("Open file failed!\n");
        return -1;
    }
    for (i = 0; i < N; i++) {
        fscanf(fp, "%lf,%lf,%lf,%lf", &data[i][0], &data[i][1], &data[i][2], &data[i][3]);
    }
    fclose(fp);
    // 求平均值
    double mean[M];
    mean(data, mean);
    // 求协方差矩阵
    double cov[M][M];
    cov(data, cov, mean);
    // 求特征值和特征向量
    double eigval[M];
    double eigvec[M][M];
    eig(cov, eigval, eigvec);
    // 输出特征值和特征向量
    printf("Eigenvalues:\n");
    for (i = 0; i < M; i++) {
        printf("%lf ", eigval[i]);
    }
    printf("\n");
    printf("Eigenvectors:\n");
    for (i = 0; i < M; i++) {
        for (j = 0; j < M; j++) {
            printf("%lf ", eigvec[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    // 求贡献率
    double sum = 0;
    for (i = 0; i < M; i++) {
        sum += eigval[i];
    }
    double ratio[M];
    for (i = 0; i < M; i++) {
        ratio[i] = eigval[i] / sum * 100;
    }
    // 输出贡献率
    printf("Ratios:\n");
    for (i = 0; i < M; i++) {
        printf("%lf%% ", ratio[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

这个代码读取了一个名为`iris.data`的文件，文件中存储了150个鸢尾花的4个特征（花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度），按行存储。代码中先求出每个特征的平均值，然后计算协方差矩阵，最后通过对称矩阵迭代法求出特征值和特征向量。输出特征值和特征向量后，再根据特征值求出每个主成分的贡献率。

以鸢尾花数据为例,用C语言实现PCA算法,并求出4个主成分的贡献率。

PCA（Principal Component Analysis）算法是一种常用的数据降维方法，可以将高维数据降到低维空间中，同时尽可能的保留原始数据的信息。在这里，我们将使用C语言实现PCA算法，并求出4个主成分的贡献率。

鸢尾花数据集是一个经典的数据集，包含了3种不同类别的鸢尾花，每类50个样本。每个样本包括4个特征：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度。我们将使用这个数据集来进行PCA算法的实现。

首先，我们需要读取数据集并将其存储在一个二维数组中。假设我们将数据集存储在一个名为“iris.csv”的文件中，我们可以使用以下代码来读取数据：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define ROWS 150
#define COLS 4

int main() {
    FILE *fp;
    double data[ROWS][COLS];
    int i, j;

    fp = fopen("iris.csv", "r");
    if (fp == NULL) {
        printf("Error opening file\n");
        return 1;
    }

    for (i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            fscanf(fp, "%lf,", &data[i][j]);
        }
    }

    fclose(fp);

    // TODO: 实现PCA算法
    // ...

    return 0;
}

接下来，我们需要对数据进行中心化处理，即将每个特征的平均值减去整个特征向量的平均值。这可以通过以下代码实现：

double mean[COLS] = {0};
for (i = 0; i < COLS; i++) {
    for (j = 0; j < ROWS; j++) {
        mean[i] += data[j][i];
    }
    mean[i] /= ROWS;
}

for (i = 0; i < ROWS; i++) {
    for (j = 0; j < COLS; j++) {
        data[i][j] -= mean[j];
    }
}

然后，我们需要计算协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称矩阵，其中每个元素表示对应特征之间的相关性。我们可以使用以下代码来计算协方差矩阵：

double cov[COLS][COLS] = {0};
for (i = 0; i < COLS; i++) {
    for (j = i; j < COLS; j++) {
        double sum = 0;
        int k;
        for (k = 0; k < ROWS; k++) {
            sum += data[k][i] * data[k][j];
        }
        cov[i][j] = cov[j][i] = sum / (ROWS - 1);
    }
}

接下来，我们需要对协方差矩阵进行特征分解。特征分解可以将协方差矩阵分解成特征向量和特征值的乘积。特征向量是一个列向量，表示对应特征的方向，而特征值表示在该方向上的方差。我们可以使用以下代码来计算特征向量和特征值：

double eig_vals[COLS] = {0};
double eig_vecs[COLS][COLS] = {0};
jacobi(cov, COLS, eig_vals, eig_vecs);  // 使用Jacobi方法进行特征分解

其中，`jacobi`函数是使用Jacobi方法进行特征分解的函数，可以使用现成的库函数或者自己实现。

最后，我们需要选择前4个特征向量作为主成分，并计算它们的贡献率。主成分是按照特征值从大到小排序的前几个特征向量，它们可以最大限度地保留原始数据的信息。贡献率表示每个主成分对总方差的贡献程度，可以通过对应特征值与所有特征值之和的比值来计算。我们可以使用以下代码来选择主成分并计算贡献率：

int num_pc = 4;
double pc[COLS][num_pc];
for (i = 0; i < num_pc; i++) {
    for (j = 0; j < COLS; j++) {
        pc[j][i] = eig_vecs[j][COLS - 1 - i];
    }
}

double total_var = 0;
for (i = 0; i < COLS; i++) {
    total_var += eig_vals[i];
}

double pc_var[num_pc];
for (i = 0; i < num_pc; i++) {
    pc_var[i] = eig_vals[COLS - 1 - i] / total_var;
    printf("PC%d: %.2f%%\n", i + 1, pc_var[i] * 100);
}

其中，`num_pc`表示要选择的主成分的数量。在这个例子中，我们选择了4个主成分。`pc`数组存储了选择的主成分，每列代表一个主成分。`total_var`表示所有特征的方差之和。`pc_var`数组存储了每个主成分的贡献率。最后，使用`printf`函数输出主成分的贡献率。

完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define ROWS 150
#define COLS 4

void jacobi(double A[][COLS], int n, double eigenvalues[], double eigenvectors[][COLS]);

int main() {
    FILE *fp;
    double data[ROWS][COLS];
    int i, j;

    fp = fopen("iris.csv", "r");
    if (fp == NULL) {
        printf("Error opening file\n");
        return 1;
    }

    for (i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            fscanf(fp, "%lf,", &data[i][j]);
        }
    }

    fclose(fp);

    double mean[COLS] = {0};
    for (i = 0; i < COLS; i++) {
        for (j = 0; j < ROWS; j++) {
            mean[i] += data[j][i];
        }
        mean[i] /= ROWS;
    }

    for (i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            data[i][j] -= mean[j];
        }
    }

    double cov[COLS][COLS] = {0};
    for (i = 0; i < COLS; i++) {
        for (j = i; j < COLS; j++) {
            double sum = 0;
            int k;
            for (k = 0; k < ROWS; k++) {
                sum += data[k][i] * data[k][j];
            }
            cov[i][j] = cov[j][i] = sum / (ROWS - 1);
        }
    }

    double eig_vals[COLS] = {0};
    double eig_vecs[COLS][COLS] = {0};
    jacobi(cov, COLS, eig_vals, eig_vecs);

    int num_pc = 4;
    double pc[COLS][num_pc];
    for (i = 0; i < num_pc; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            pc[j][i] = eig_vecs[j][COLS - 1 - i];
        }
    }

    double total_var = 0;
    for (i = 0; i < COLS; i++) {
        total_var += eig_vals[i];
    }

    double pc_var[num_pc];
    for (i = 0; i < num_pc; i++) {
        pc_var[i] = eig_vals[COLS - 1 - i] / total_var;
        printf("PC%d: %.2f%%\n", i + 1, pc_var[i] * 100);
    }

    return 0;
}

void jacobi(double A[][COLS], int n, double eigenvalues[], double eigenvectors[][COLS]) {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        eigenvectors[i][i] = 1;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j) {
                eigenvectors[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    int max_iter = n * n * n;
    for (i = 0; i < max_iter; i++) {
        double max_offdiag = 0;
        int p, q;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            for (k = j + 1; k < n; k++) {
                double a = A[j][k];
                if (abs(a) > max_offdiag) {
                    max_offdiag = abs(a);
                    p = j;
                    q = k;
                }
            }
        }

        if (max_offdiag == 0) {
            break;
        }

        double theta = (A[q][q] - A[p][p]) / (2 * A[p][q]);
        double t;
        if (theta >= 0) {
            t = 1 / (theta + sqrt(1 + theta * theta));
        } else {
            t = -1 / (-theta + sqrt(1 + theta * theta));
        }

        double c = 1 / sqrt(1 + t * t);
        double s = t * c;
        double tau = s / (1 + c);
        double a_pp = A[p][p];
        double a_qq = A[q][q];
        double a_pq = A[p][q];
        A[p][p] = a_pp - t * a_pq;
        A[q][q] = a_qq + t * a_pq;
        A[p][q] = A[q][p] = 0;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (j != p && j != q) {
                double a_pj = A[p][j];
                double a_qj = A[q][j];
                A[p][j] = A[j][p] = a_pj - s * (a_qj + tau * a_pj);
                A[q][j] = A[j][q] = a_qj + s * (a_pj - tau * a_qj);
            }
        }

        for (j = 0; j < n; j++) {
            double v_pj = eigenvectors[p][j];
            double v_qj = eigenvectors[q][j];
            eigenvectors[p][j] = v_pj - s * (v_qj + tau * v_pj);
            eigenvectors[q][j] = v_qj + s * (v_pj - tau * v_qj);
        }
    }

    for (i = 0; i < n; i++) {
        eigenvalues[i] = A[i][i];
    }
}

注意：这里的PCA算法实现中，我们使用了Jacobi方法进行特征分解。这种方法虽然简单易懂，但其时间复杂度较高，通常不适用于大规模的数据集。在实际应用中，可能需要使用更快速的算法，例如基于奇异值分解（SVD）的PCA算法。