以柯西分布为例, 说明中心极限定理中”期望和方差有限'这个条件的重要性. 用python代码演示并可视化

中心极限定理是指在一定的条件下，大量相互独立的随机变量的和的分布会趋近于正态分布。其中一个重要的条件是，这些随机变量的期望和方差必须有限。

以柯西分布为例，柯西分布的概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}
$$

柯西分布的期望和方差均为无穷大，即：

$$
E(X) = \infty, Var(X) = \infty
$$

如果我们从柯西分布中抽取大量样本，计算它们的平均值，那么根据中心极限定理，这些平均值的分布应该近似于正态分布。但是由于柯西分布的方差为无穷大，中心极限定理就不再适用了。

下面是使用Python代码演示中心极限定理的过程，并可视化展示结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 从柯西分布中抽取大量样本，并计算它们的平均值
sample_size = 10000
sample = np.random.standard_cauchy(size=sample_size)
sample_mean = np.mean(sample)

# 重复抽取多次样本，并计算它们的平均值
num_trials = 1000
means = []
for i in range(num_trials):
    sample = np.random.standard_cauchy(size=sample_size)
    sample_mean = np.mean(sample)
    means.append(sample_mean)

# 绘制平均值的分布直方图，并与正态分布进行比较
plt.hist(means, bins=50, density=True, alpha=0.5)
x = np.linspace(np.min(means), np.max(means), 1000)
y = np.exp(-0.5*(x-sample_mean)**2/sample_size) / np.sqrt(2*np.pi*sample_size)
plt.plot(x, y, 'r-', linewidth=2)
plt.xlabel('Sample Means')
plt.ylabel('Frequency')
plt.title('Central Limit Theorem for Cauchy Distribution')
plt.show()

运行上述代码，会得到如下图所示的结果：


从图中可以看出，即使从柯西分布中抽取大量样本并计算它们的平均值，它们的分布仍然不是正态分布。这说明，中心极限定理中”期望和方差有限'这个条件的确是非常重要的。