若非空集合A上的二元关系R和S是等价关系，试证明：也是A上的等价关系。

要证明关系$R$和$S$是$A$上的等价关系，需要证明它们满足等价关系的三个性质：自反性、对称性和传递性。

首先，因为$R$和$S$是$A$上的等价关系，所以它们是自反的。即对于任意$a\in A$，都有$(a,a)\in R$和$(a,a)\in S$，因此$(a,a)\in R\cap S$。所以$R\cap S$是自反的。

其次，因为$R$和$S$是$A$上的等价关系，所以它们是对称的。即对于任意$a,b\in A$，如果$(a,b)\in R$，那么$(b,a)\in R$；如果$(a,b)\in S$，那么$(b,a)\in S$。因此，$(a,b)\in R\cap S$时，$(b,a)\in R\cap S$，即$R\cap S$是对称的。

最后，因为$R$和$S$是$A$上的等价关系，所以它们是传递的。即对于任意$a,b,c\in A$，如果$(a,b)\in R$且$(b,c)\in R$，那么$(a,c)\in R$；如果$(a,b)\in S$且$(b,c)\in S$，那么$(a,c)\in S$。因此，$(a,b)\in R\cap S$且$(b,c)\in R\cap S$时，$(a,c)\in R\cap S$，即$R\cap S$是传递的。

综上所述，$R\cap S$是$A$上的等价关系。因此，若非空集合$A$上的二元关系$R$和$S$是等价关系，则它们也是$A$上的等价关系。

相关问题

1设A∈Rnxn是对称正定矩阵，若非零向量组d1,d2,...,dn是A共轭的，则它们是线性无关的.请用反证法证明这个结论

假设向量组d1,d2,...,dn是线性相关的，则存在不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1d1+c2d2+...+cndn=0。

由于向量组d1,d2,...,dn是A共轭的，因此有d1^TAd2=d2^TAd1，d1^TAd3=d3^TAd1，...，dn-1^TAdn=dn^TAdn-1。

将向量组d1,d2,...,dn代入上式，得到：

c1d1^TAd2+c2d2^TAd1+c3d1^TAd3+c4d2^TAd3+...+cn-1dn-1^TAdn+cndn^TAdn-1=0

将上式左右两边同时乘以向量组d1,d2,...,dn的转置，得到：

c1(d1^TAd1)+c2(d2^TAd2)+...+cn(dn^TAdn)=0

由于A是对称正定矩阵，因此对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

因此，对于向量组d1,d2,...,dn中的任意一个向量di，都有di^TAdi>0。

因此，c1(d1^TAd1)+c2(d2^TAd2)+...+cn(dn^TAdn)>0。

这与上式得到的结果矛盾，因此假设不成立，向量组d1,d2,...,dn是线性无关的。

证毕。

请编写C程序，实现串的模式匹配。 要求：若非空串t是串s的子串，则返回值为s中第一个这样的子串在主串中的位置，否则返回值为零。

以下是实现串的模式匹配的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int match(char *s, char *t) {
    int s_len = strlen(s);
    int t_len = strlen(t);
    int i, j, k;

    for (i = 0; i <= s_len - t_len; i++) {
        for (j = 0, k = i; j < t_len && s[k] == t[j]; j++, k++);
        if (j == t_len) {
            return i + 1;
        }
    }

    return 0;
}

int main() {
    char s[100], t[100];
    int index;

    printf("请输入主串：");
    scanf("%s", s);
    printf("请输入子串：");
    scanf("%s", t);

    index = match(s, t);
    if (index) {
        printf("子串在主串中的位置是：%d\n", index);
    } else {
        printf("主串中不存在该子串。\n");
    }

    return 0;
}

代码中，我们首先获取主串`s`和子串`t`，然后通过两层循环进行匹配。在内层循环中，我们通过`j`和`k`两个变量分别遍历子串`t`和主串`s`的一部分，如果它们匹配，就继续往下匹配；否则跳出循环进行下一次匹配。在匹配完成之后，如果子串`t`完全匹配主串`s`中的某一部分，就返回这部分的起始位置，否则返回0表示匹配失败。