一阶微分/梯度的边缘增强算子

边缘增强算子常用于图像处理中的边缘检测任务，其中一阶微分和梯度是常见的算子之一。

一阶微分算子可以通过计算像素灰度值在x和y方向上的差异来检测边缘。一种常见的一阶微分算子是Sobel算子，它在x和y方向上分别使用以下卷积核：

$$
G_x = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
-2 & 0 & 2 \\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
,\quad G_y = \begin{bmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}
$$

通过将这两个卷积核应用于图像，我们可以计算出每个像素在x和y方向上的梯度值。然后，我们可以通过将这些梯度值平方并将它们相加来计算像素的总梯度值，即：

$$
G = \sqrt{G_x^2 + G_y^2}
$$

梯度是一个向量，它由梯度值的方向和大小组成。因此，可以通过计算$G_x$和$G_y$的反正切来确定梯度方向：

$$
\theta = \arctan\left(\frac{G_y}{G_x}\right)
$$

在实际应用中，我们通常只对梯度的大小进行处理，仅提取边缘的信息。

除了Sobel算子之外，还有其他一阶微分算子，例如Prewitt算子和Roberts算子。

梯度算子是另一种常见的边缘增强算子。它们通常是通过计算像素灰度值在x和y方向上的差异来检测边缘。常见的梯度算子包括Laplacian算子和Canny算子。Laplacian算子可以通过以下卷积核来实现：

$$
G = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & -4 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

Canny算子是一种多步边缘检测算法，它首先使用高斯滤波器平滑图像，然后计算梯度的大小和方向，接着使用非极大值抑制（NMS）来消除非边缘像素，最后使用双阈值来确定边缘像素。Canny算子通常被认为是最有效的边缘检测算法之一。