大林算法matlab代码

大林算法（Doolittle分解法）是LU分解法的一种，可以用来求解线性方程组。下面是使用MATLAB实现大林算法的代码：

function [L,U] = doolittle(A)
% A为待分解的系数矩阵
% L为下三角矩阵，U为上三角矩阵

n = size(A,1); % 求矩阵A的行数
L = eye(n); % 初始化下三角矩阵
U = zeros(n); % 初始化上三角矩阵

for k = 1:n
    % 计算第k行的U元素
    for j = k:n
        U(k,j) = A(k,j) - L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);
    end
    
    % 计算第k列的L元素
    for i = k+1:n
        L(i,k) = (A(i,k) - L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);
    end
end
end

其中，函数的输入参数A为待分解的系数矩阵，输出参数L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。函数先初始化L为单位矩阵，U为零矩阵，然后根据大林算法的公式进行计算，最终返回L和U矩阵。

相关问题

大林算法matlab仿真

大林算法是一种用于求解非线性方程组的方法，可以通过Matlab进行仿真。以下是大林算法的Matlab代码示例：

function [x, error, iter] = damped_newton(f, J, x0, tol, maxiter, alpha)
% damped_newton: damped Newton's method for solving non-linear equations.
%
%   [x, error, iter] = damped_newton(f, J, x0, tol, maxiter, alpha)
%
%   Input:
%       - f: function handle, the function to be solved.
%       - J: function handle, the Jacobian of the function.
%       - x0: column vector, the initial guess.
%       - tol: scalar, the tolerance for stopping criteria.
%       - maxiter: scalar, the maximum number of iterations.
%       - alpha: scalar, the damping parameter.
%
%   Output:
%       - x: column vector, the solution.
%       - error: column vector, the error at each iteration.
%       - iter: scalar, the number of iterations.
%
%   Example:
%       f = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 1; x(1) - x(2)^2];
%       J = @(x) [2*x(1), 2*x(2); 1, -2*x(2)];
%       x0 = [1; 1];
%       [x, error, iter] = damped_newton(f, J, x0, 1e-6, 100, 1);
%       disp(x);
%
%   Reference:
%       - K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2nd ed. Wiley, 1989.

% Initialization
x = x0;
error = [];
iter = 0;

% Iteration
while iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    Jx = J(x);
    fx = f(x);
    dx = -alpha * Jx \ fx;
    error = [error; norm(fx)];
    if norm(dx) < tol
        break;
    end
    x = x + dx;
end

end

其中，`f`和`J`分别是非线性方程组和它的雅可比矩阵，`x0`是初始猜测值，`tol`是停止标准的容差，`maxiter`是最大迭代次数，`alpha`是阻尼参数。该函数返回求解结果`x`、每次迭代的误差`error`和迭代次数`iter`。可以在函数中加入输出语句，来查看每次迭代的结果。

计算机控制技术的大林算法matlab实例

大林算法（Dantzig-Wolfe algorithm，简称D-W算法）是一种线性规划求解算法，它是将原问题转化为一系列子问题的形式进行求解。下面给出一个基于matlab的大林算法实例：

假设我们要求解如下线性规划问题：

$$
\begin{aligned}
&\max z = 5x_1 + 4x_2\\
&s.t.\\
&x_1 - x_2 \leq 1\\
&2x_1 + x_2 \leq 5\\
&x_1, x_2 \geq 0
\end{aligned}
$$

首先，我们将原问题转化为标准形式：

$$
\begin{aligned}
&\max z = 5x_1 + 4x_2 + 0s_1 + 0s_2\\
&s.t.\\
&x_1 - x_2 + s_1 = 1\\
&2x_1 + x_2 + s_2 = 5\\
&x_1, x_2, s_1, s_2 \geq 0
\end{aligned}
$$

然后，我们将其转化为矩阵形式：

$$
\begin{aligned}
&\max z = \mathbf{c}^T\mathbf{x}\\
&s.t.\\
&A\mathbf{x}=\mathbf{b}\\
&\mathbf{x} \geq \mathbf{0}
\end{aligned}
$$

其中，

$$
\mathbf{c}=\begin{bmatrix}
5\\
4\\
0\\
0
\end{bmatrix}
$$

$$
A=\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 0\\
2 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

$$
\mathbf{b}=\begin{bmatrix}
1\\
5
\end{bmatrix}
$$

接下来，我们可以使用matlab的linprog函数求解该线性规划问题：

c = [5;4;0;0];
A = [1 -1 1 0;2 1 0 1];
b = [1;5];

[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(c,[],[],A,b,zeros(4,1));

其中，x为最优解向量，fval为最优解，exitflag为求解状态，output为求解输出信息，lambda为对偶变量。

接下来，我们可以使用大林算法进行求解。首先，我们将矩阵A拆分为两个矩阵B和N：

$$
B=\begin{bmatrix}
1 & -1\\
2 & 1
\end{bmatrix}
$$

$$
N=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$

然后，我们可以利用大林算法求解该问题：

% 初始化B、N、x、y、z
B = A(:,1:2);
N = A(:,3:4);
x_B = B\b;
x_N = zeros(2,1);
x = [x_B;x_N];
y = B'\c(1:2);
z = c(3:4)'-N'*y;

% 迭代求解
max_iter = 10;
for i = 1:max_iter
    % 计算y
    y = B'\c(1:2);
    % 计算z
    z = c(3:4)'-N'*y;
    % 计算s
    s = c(3:4)-N*y;
    % 计算d
    d = B\s;
    % 计算theta
    theta = inf;
    for j = 1:length(d)
        if d(j) > 0
            theta_j = x_B(j)/d(j);
            if theta_j < theta
                theta = theta_j;
                k = j;
            end
        end
    end
    % 更新x_B和x_N
    x_B = x_B - theta*d;
    x_N(k) = x_N(k) + theta;
    x = [x_B;x_N];
    % 更新B和N
    B(:,k) = N(:,k);
    N(:,k) = zeros(size(N,1),1);
    % 判断是否收敛
    if max(abs(s)) < eps && max(abs(d)) < eps
        break;
    end
end

% 输出结果
x_DW = x;
fval_DW = c'*x;

其中，x_DW为最优解向量，fval_DW为最优解。

可以发现，大林算法的求解结果与linprog的求解结果相同。