f(x)=||x-xv||在x=a处的一阶泰勒展开

时间: 2023-11-23 11:54:17 浏览: 224

二元函数的泰勒展开

### 二元函数的泰勒展开 #### 一、二元函数泰勒公式泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，用于将一个可微函数在某一点附近的值近似为该点及其各阶导数值组成的多项式。对于一元函数而言，泰勒公式的表达相对简单，但对于二元或多维函数，则更为复杂。 **一元函数的泰勒公式**：假设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某个邻域内具有直到 \( n+1 \) 阶导数，则存在 \( \theta \in (0,1) \)，使得 \[ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n + R_n \] 其中余项 \( R_n = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta h)}{(n+1)!}h^{n+1} \)。 **二元函数的泰勒公式**：假设函数 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0,y_0) \) 的某个邻域内具有直到 \( n+1 \) 阶连续偏导数，则存在 \( \theta \in (0,1) \)，使得 \[ f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k + \frac{1}{2!}\left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)h^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)hk + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)k^2 \right] + \cdots \] \[ + \frac{1}{n!}\sum_{p+m=n} \left(\frac{\partial^n f}{\partial x^p \partial y^m}(x_0, y_0)\right)h^pk^m + R_n \] 其中余项 \( R_n = \frac{1}{(n+1)!}\sum_{p+m=n+1} \left(\frac{\partial^{n+1} f}{\partial x^p \partial y^m}(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k)\right)h^pk^m \)。 #### 二、极值充分条件的证明为了讨论二元函数 \( f(x,y) \) 的极值问题，首先需要了解极值的必要条件与充分条件。 **极值的必要条件**：如果函数 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 处取得局部极值，则在该点处的一阶偏导数都为零，即 \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0 \] **极值的充分条件**：假设函数 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且满足必要条件，则 1. 若 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) > 0 \) 且 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\right)^2 > 0 \)，则 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 处取得局部最小值。 2. 若 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) < 0 \) 且 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\right)^2 > 0 \)，则 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 处取得局部最大值。 3. 如果 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\right)^2 \leq 0 \)，则不能确定 \( (x_0, y_0) \) 是否为极值点。 **证明**：基于泰勒公式，我们可以推导出二元函数的极值充分条件。设 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 处的二阶泰勒公式为 \[ f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!}\left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)h^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)hk + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)k^2 \right] + o(h^2 + k^2) \] 其中 \( o(h^2 + k^2) \) 表示当 \( (h,k) \rightarrow (0,0) \) 时比 \( h^2 + k^2 \) 高阶无穷小的量。若 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\right)^2 > 0 \)，则矩阵 \[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) \end{bmatrix} \] 正定（当 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) > 0 \)）或负定（当 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) < 0 \)），这意味着 \( f(x,y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 处分别取得局部最小值或最大值。通过以上讨论可以看出，利用二元函数的泰勒展开可以有效地研究函数在某点处的行为特征，并进一步分析其极值情况。这对于解决实际问题中的最优化问题具有重要意义。

根据一阶泰勒展开公式，我们可以得到f(x)在x=a处的一阶泰勒展开式为： f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) 其中，f(a) = ||a-xv||，f'(a) = (a-xv)/||a-xv||，代入可得： f(x) ≈ ||a-xv|| + [(a-xv)/||a-xv||]·(x-a) ≈ ||a-xv|| + [(x-a)·(a-xv)]/||a-xv|| ≈ ||a-xv|| - [(x-a)·(xv-a)]/||a-xv|| 因此，f(x)=||x-xv||在x=a处的一阶泰勒展开为：||a-xv|| - [(x-a)·(xv-a)]/||a-xv||。

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f(x)=||x-xv||在x=a处的一阶泰勒展开

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