计算多项式P(x) = x^7-2x^6-3*x^4+4x^3-x^2+6x-1在x = 2时的值
时间: 2023-10-22 11:09:05 浏览: 58
根据提供的引用内容,多项式P(x) = x^7-2x^6-3*x^4+4x^3-x^2+6x-1在x = 2时的值可以通过多项式求值函数POLYVAL计算出来。结合引用的说明,我们可以得到P(2) = (2^7)-(2^6)-(3*(2^4))+(4*(2^3))-(2^2)+(6*2)-1 = 64-32-48+32-4+12-1 = 23。
相关问题
用matlab秦九韶算法程序计算多项式P(x) = x^7-2x^6-3*x^4+4x^3-x^2+6x-1在x = 2时的值
可以使用Matlab的秦九韶算法来计算多项式的值。根据提供的代码,在Matlab中使用秦九韶算法计算多项式P(x)在x=2时的值可以按照以下步骤进行:
1. 首先,给定多项式表达式P(x) = x^7-2x^6-3*x^4+4x^3-x^2+6x-1。
2. 在代码中,输入x的值为2,即x = 2。
3. 接下来,将多项式的系数按照降幂的顺序存储在数组a中,即a = [1 -2 0 -3 4 -1 6 -1]。
4. 定义一个变量b,初始化为第一个系数a(1)。
5. 使用循环从第二个系数开始,依次计算b与x的乘积,并加上当前系数a(i)。即b = b * x + a(i)。
6. 重复以上步骤,直到循环结束。
7. 最后,得到的结果b即为P(x)在x=2时的值。
运行这段代码后,你将得到多项式P(x)在x=2时的值。
3.使用Chebyshev定理3.7求f(x)=5x^3-x^2+x-1在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式
Chebyshev定理3.7的表述为:设$f(x)\in C[a,b]$,则在$[a,b]$上,最佳的n次逼近多项式是唯一确定的,且是n次切比雪夫多项式$T_n(x)$与$f(x)$的n次正交多项式$Q_n(x)$的乘积的线性组合,即$$P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kT_k(x)$$ 其中$c_k=\frac{2-\delta_{k0}}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)T_k(x_i)w_i$,$w_i=\frac{\pi}{n}$或$w_i=\frac{\pi}{2n}$。
对于本题,我们需要求$f(x)=5x^3-x^2+x-1$在$[-1,1]$上的最佳二次逼近多项式。
首先我们需要计算$n=2$时的切比雪夫多项式$T_2(x)$和其相应的正交多项式$Q_2(x)$。
根据定义,$T_2(x)=2x^2-1$,$Q_2(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}(4x^2-1)$。
然后,我们需要选择$n=3$的Chebyshev多项式的三个节点$x_0,x_1,x_2$。根据Chebyshev节点的定义,我们选择$x_0=-\cos\frac{\pi}{3}= -\frac{1}{2}$,$x_1=0$,$x_2=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$。
根据公式$c_k=\frac{2-\delta_{k0}}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)T_k(x_i)w_i$,我们可以计算系数$c_0,c_1,c_2$的值。
$c_0=\frac{1}{3}\left(f(-\frac{1}{2})T_0(-\frac{1}{2})w_0+f(0)T_0(0)w_1+f(\frac{1}{2})T_0(\frac{1}{2})w_2\right)=\frac{1}{3}(f(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}))=-\frac{11}{12}$
$c_1=\frac{2}{3}\left(f(-\frac{1}{2})T_1(-\frac{1}{2})w_0+f(0)T_1(0)w_1+f(\frac{1}{2})T_1(\frac{1}{2})w_2\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}(f(-\frac{1}{2})-f(\frac{1}{2}))=\frac{11\sqrt{3}}{18}$
$c_2=\frac{1}{3}\left(f(-\frac{1}{2})T_2(-\frac{1}{2})w_0+f(0)T_2(0)w_1+f(\frac{1}{2})T_2(\frac{1}{2})w_2\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}(f(-\frac{1}{2})+f(\frac{1}{2}))=\frac{1}{36}$
因此,我们得到了最佳的二次逼近多项式为$P_2(x)=-\frac{11}{12}+\frac{11\sqrt{3}}{9}(2x^2-1)+\frac{1}{36}(4x^2-1)=\frac{33}{4}x^2-\frac{11}{4}$。
最后,我们可以验证一下这个多项式确实是$f(x)$在$[-1,1]$上的最佳二次逼近多项式。
根据公式$f(x)-P_2(x)=\frac{Q_2(x)}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)Q_2(t)}{\sqrt{1-t^2}}(f(t)-P_2(t))dt$,我们可以计算误差函数$E(x)=f(x)-P_2(x)$。
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^2-1)}{\sqrt{1-t^2}}(5t^3-t^2+t-1-\frac{33}{4}t^2+\frac{11}{4})dt$
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^2-1)}{\sqrt{1-t^2}}(\frac{1}{4}t^3-t^2+t-\frac{11}{4})dt$
$E(x)=\frac{1}{4\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(2x-2t)(4t^2-1)}{\sqrt{1-t^2}}(t^3-2t^2+2t-\frac{11}{4})dt$
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^3-8t^2+8t-3)}{\sqrt{1-t^2}}dt$
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^3-3-8t^2+8t-3)}{\sqrt{1-t^2}}dt$
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{(x-t)(4t^3-8t^2+8t-3)}{\sqrt{1-t^2}}dt$
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int_{-1}^1\frac{4tx^3-8tx^2+8tx-3x-4t^4+8t^3-8t^2+3t}{\sqrt{1-t^2}}dt$
$E(x)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\int_{-1}^1\frac{(4tx^3-8tx^2+8tx-3x)}{\sqrt{1-t^2}}dt-\int_{-1}^1\frac{(4t^4-8t^3+8t^2-3t)}{\sqrt{1-t^2}}dt\right)$
通过计算可以得到:
$\int_{-1}^1\frac{(4tx^3-8tx^2+8tx-3x)}{\sqrt{1-t^2}}dt=0$
$\int_{-1}^1\frac{(4t^4-8t^3+8t^2-3t)}{\sqrt{1-t^2}}dt=0$
因此,$E(x)=0$,即$P_2(x)$是$f(x)$在$[-1,1]$上的最佳二次逼近多项式。
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