抽象代数在z中定义关系r为:arb→3/(a-b)。证明r是z中的等价关系,写出z/r中所有元

要证明关系r是集合Z中的等价关系，需要证明r满足自反性、对称性和传递性。

1. 自反性：对于任意整数a∈Z，有arb，其中r定义为arb→3/(a-b)。根据定义，可以得到3/(a-a)=3/0是未定义的，所以a∼a，即r是自反的。

2. 对称性：对于任意整数a、b∈Z，如果arb，则3/(a-b)=3/(b-a)。因此，如果a∼b，则b∼a，即r是对称的。

3. 传递性：对于任意整数a、b、c∈Z，如果a∼b且b∼c，即arb且brc，则可以得到3/(a-b)和3/(b-c)都是有定义的。由此可得：
3/(a-b)+3/(b-c)=3/(a-b)+3(c-b)/(b-c)=3/(a-b+c-b)=3/(a-c)
因此，a∼c，即r是传递的。

综上所述，关系r是整数集合Z中的等价关系。

根据等价关系r的定义：arb→3/(a-b)，可以得到以下元素对：
(1, 1) → 3/(1-1) = 3/0，未定义
(1, 2) → 3/(1-2) = -3
(1, 3) → 3/(1-3) = -3/2
...
需要注意的是，由于等价关系r中的定义式是3/(a-b)，当a=b时，分母为0，该式在整数集合Z中是未定义的。因此，只能列出满足a≠b的元素对。

相关问题

for (var i = 0; i < sprayMax; i++) { if (targetButterflies[i].length != 0x10) { //debug("[*] Found smashed butterfly!"); //debug("| [+] Index: 0x" + i.toString(16)); //debug("| [+] Length: 0x" + targetButterflies[i].length.toString(16)); targetIdx = i; break; } } if (targetIdx == -1) { alert("[-] Failed to find smashed butterfly."); return; } // We now have an ArrayWithDoubles that can r/w OOB var oobDoubleArr = targetButterflies[targetIdx]; debug("---------- Phase 2: Obtaining Arbitrary R/W Primitive ----------"); // Spray some objects to use for arb. R/W primitive //debug("[*] Spraying ArrayWithContiguous objects...");请解释以上代码，描述包括注释在内的代码含义？

以上代码是在之前的`main`函数中的一部分。让我逐步解释这段代码的含义：

1. `for (var i = 0; i < sprayMax; i++) { ... }`：这是一个循环，循环变量`i`从0开始递增，直到达到`sprayMax`的值。这个循环用于查找被破坏的目标对象数组。

- 在循环体中，首先检查`targetButterflies[i]`的长度是否等于`0x10`（16）。
- 如果不等于`0x10`，则表示找到了被破坏的目标对象数组。
- 在找到被破坏的数组后，将当前循环变量`i`赋值给`targetIdx`，并跳出循环。

2. `if (targetIdx == -1) { ... }`：这是一个条件判断语句，判断`targetIdx`是否等于-1。

- 如果等于-1，则表示没有找到被破坏的目标对象数组。
- 在这种情况下，弹出一个警告框提示"[-] Failed to find smashed butterfly."，并结束函数的执行。

3. `var oobDoubleArr = targetButterflies[targetIdx];`：将被破坏的目标对象数组赋值给变量`oobDoubleArr`。

4. `debug("---------- Phase 2: Obtaining Arbitrary R/W Primitive ----------");`：调用了一个名为`debug`的函数，输出调试信息。此处输出了一个分隔线和一条描述信息。

5. `// Spray some objects to use for arb. R/W primitive`和`//debug("[*] Spraying ArrayWithContiguous objects...");`：这两行代码是注释，用于描述下一步操作的目的，但并没有实际的代码。

根据注释和代码的逻辑，这段代码主要是在循环中查找被破坏的目标对象数组，找到后将其赋值给变量`oobDoubleArr`。然后，输出一条描述信息，准备进行下一阶段的操作。

设S是A上一个等价关系，R=S*S（即S2）。证明R也是A上一个等价关系。

为了证明R也是A上一个等价关系，需要证明R满足等价关系的三个条件：自反性、对称性和传递性。

首先证明R的自反性。根据S是A上一个等价关系，可知S满足自反性，即对于任意a∈A，都有aSa。因此，对于任意a∈A，有aSa，进而有aRa，即R满足自反性。

接着证明R的对称性。对于任意a、b∈A，如果aRb成立，则存在c∈A，使得aSc且cSb。因为S是等价关系，所以满足对称性，即cSa成立。因此，可以得到bSc，并且由传递性可知aSb。因此，aRb和bRa都成立，即R满足对称性。

最后证明R的传递性。对于任意a、b、c∈A，如果aRb和bRc成立，则存在d、e∈A，使得aSd、dSe、eSb、bSf、fSc都成立。因为S是等价关系，所以满足传递性，即dSf成立。因此，可以得到aSf，进而有aRc。因此，R满足传递性。

因为R满足自反性、对称性和传递性，所以R也是A上一个等价关系。证毕。