抽象代数在z中定义关系r为:arb→3/(a-b)。证明r是z中的等价关系,写出z/r中所有元

要证明关系r是集合Z中的等价关系，需要证明r满足自反性、对称性和传递性。

1. 自反性：对于任意整数a∈Z，有arb，其中r定义为arb→3/(a-b)。根据定义，可以得到3/(a-a)=3/0是未定义的，所以a∼a，即r是自反的。

2. 对称性：对于任意整数a、b∈Z，如果arb，则3/(a-b)=3/(b-a)。因此，如果a∼b，则b∼a，即r是对称的。

3. 传递性：对于任意整数a、b、c∈Z，如果a∼b且b∼c，即arb且brc，则可以得到3/(a-b)和3/(b-c)都是有定义的。由此可得：
3/(a-b)+3/(b-c)=3/(a-b)+3(c-b)/(b-c)=3/(a-b+c-b)=3/(a-c)
因此，a∼c，即r是传递的。

综上所述，关系r是整数集合Z中的等价关系。

根据等价关系r的定义：arb→3/(a-b)，可以得到以下元素对：
(1, 1) → 3/(1-1) = 3/0，未定义
(1, 2) → 3/(1-2) = -3
(1, 3) → 3/(1-3) = -3/2
...
需要注意的是，由于等价关系r中的定义式是3/(a-b)，当a=b时，分母为0，该式在整数集合Z中是未定义的。因此，只能列出满足a≠b的元素对。

相关问题

在离散数学中,集合A为{1,2,3,4,5}它有多少个等价关系

在集合A={1,2,3,4,5}中，定义一个关系R为等价关系，必须满足以下三条性质：

1. 自反性：对于任意的a∈A，都有aRa；
2. 对称性：对于任意的a,b∈A，如果aRb，则bRa；
3. 传递性：对于任意的a,b,c∈A，如果aRb且bRc，则aRc。

根据等价关系的定义，我们知道等价关系将集合A划分为若干个等价类，即每个等价类由满足以下条件的元素组成：

1. 同属于A；
2. 对于任意的a,b∈A，有a和b在同一个等价类中当且仅当aRb。

因此，我们可以通过寻找等价类的数量，来确定等价关系的数量。

在集合A中，可以发现有如下等价类：

1. {1}
2. {2}
3. {3}
4. {4}
5. {5}
6. {1,2}
7. {1,3}
8. {1,4}
9. {1,5}
10. {2,3}
11. {2,4}
12. {2,5}
13. {3,4}
14. {3,5}
15. {4,5}
16. {1,2,3}
17. {1,2,4}
18. {1,2,5}
19. {1,3,4}
20. {1,3,5}
21. {1,4,5}
22. {2,3,4}
23. {2,3,5}
24. {2,4,5}
25. {3,4,5}
26. {1,2,3,4}
27. {1,2,3,5}
28. {1,2,4,5}
29. {1,3,4,5}
30. {2,3,4,5}
31. {1,2,3,4,5}

因此，集合A中共有31个等价关系。

设S是A上一个等价关系，R=S*S（即S2）。证明R也是A上一个等价关系。

为了证明R也是A上一个等价关系，需要证明R满足等价关系的三个条件：自反性、对称性和传递性。

首先证明R的自反性。根据S是A上一个等价关系，可知S满足自反性，即对于任意a∈A，都有aSa。因此，对于任意a∈A，有aSa，进而有aRa，即R满足自反性。

接着证明R的对称性。对于任意a、b∈A，如果aRb成立，则存在c∈A，使得aSc且cSb。因为S是等价关系，所以满足对称性，即cSa成立。因此，可以得到bSc，并且由传递性可知aSb。因此，aRb和bRa都成立，即R满足对称性。

最后证明R的传递性。对于任意a、b、c∈A，如果aRb和bRc成立，则存在d、e∈A，使得aSd、dSe、eSb、bSf、fSc都成立。因为S是等价关系，所以满足传递性，即dSf成立。因此，可以得到aSf，进而有aRc。因此，R满足传递性。

因为R满足自反性、对称性和传递性，所以R也是A上一个等价关系。证毕。