考虑R^n上的函数k(x,y)=(xᵀy+c)ᵈ，其中c是任意实数，d,N是任意正整数，试分析函数k何时是核函数，何时不是核函数，并说明理由

首先，我们需要知道什么是核函数。核函数是指一个函数，能够将输入的数据映射到高维特征空间，并在该空间中进行内积运算，从而实现非线性分类任务。具体地说，如果一个函数k(x,y)满足Mercer定理，即对于任意的数据集D={(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)}，对应的核矩阵K=[k(xᵢ,xⱼ)]是半正定矩阵，那么k(x,y)就是一个核函数。

现在，我们来分析函数k(x,y)=(xᵀy+c)ᵈ是否是核函数。根据Mercer定理，我们需要证明对于任意的数据集D={(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)}，对应的核矩阵K=[k(xᵢ,xⱼ)]是半正定矩阵。

首先，我们来证明当d为偶数时，k(x,y)是核函数。此时，我们可以利用多项式展开式：

k(x,y) = (xᵀy+c)ᵈ = ∑(d choose i) (xᵀy)ᵢ c^(d-i)

其中，(d choose i)表示组合数。由于(xᵀy)ᵢ是x,y的i次多项式，因此可以证明其是核函数。而c^(d-i)是常数，也是核函数。因为核函数的加法、乘法和常数倍仍然是核函数，所以k(x,y)是核函数。

接下来，我们来证明当d为奇数时，k(x,y)不是核函数。此时，我们需要构造一个反例来证明。假设x,y∈R，令c=0，d=3，数据集D={(1,1),(2,2)}，则对应的核矩阵为：

K = [k((1,1),(1,1)) k((1,1),(2,2))]
[k((2,2),(1,1)) k((2,2),(2,2))]
= [2 5]
[5 8]

由于K并非半正定矩阵，因此k(x,y)不是核函数。

综上所述，函数k(x,y)=(xᵀy+c)ᵈ是核函数的充分必要条件是d为偶数。