画出T(n)=2T(n/3)+ cn的递归树,写出每层的时间开销和该递归方程的最坏时间复杂度
时间: 2023-03-29 11:02:45 浏览: 108
好的,我可以回答这个问题。对于递归方程T(n)=2T(n/3)+cn,我们可以画出递归树,每个节点的代价为cn,每次递归将问题规模缩小为原来的1/3。递归树的深度为log3n,每层的代价为2^i * cn/3^i,其中i为当前层数。因此,该递归方程的最坏时间复杂度为O(nlog3 2),即O(n^.631)。
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将f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n转化成递归函数,其递归出口是
将f(n)=1+1/2+1/3+…+1/n转化成递归函数的话,可以将问题分解为两部分:计算前n-1项的和,以及加上第n项的值。递归出口可以是当n等于1时,即只有一项时,返回1。
下面是一个示例的递归函数实现:
```python
def calculate_sum(n):
if n == 1:
return 1
else:
return calculate_sum(n-1) + 1/n
```
利用主定理说明以下时间函数的复杂度: T(n) = 9T(n/3) + n ;T(n) = T(2n/3) + 1 ;T(n) = 3T(n/4) + nlogn;T(n) = 2T(n/2) + 2
### 回答1:
回答:
1. 利用主定理,可以发现 T(n) = 9T(n/3) 的复杂度为 O(n^2),因为 a = 9,b = 3,d = 2。
2. 利用主定理,可以发现 T(n) = T(2n/3) 的复杂度为 O(log n),因为 a = 1,b = 3/2,d = 0。
3. 利用主定理,可以发现 T(n) = 3T(n/4) 的复杂度为 O(n log n),因为 a = 3,b = 4/3,d = 1。
4. 利用主定理,可以发现 T(n) = 2T(n/2) 的复杂度为 O(n),因为 a = 2,b = 2,d = 1。
### 回答2:
根据主定理,对于递归函数 T(n) = aT(n/b) + f(n),其中 a >= 1, b > 1,f(n) 是一个非负函数。假设 T(n) 的求解时间复杂度为 O(n^d)。
对于第一个函数 T(n) = 9T(n/3) + n,根据主定理可知,a = 9,b = 3,f(n) = n。计算 log_b(a) = log_3(9) = 2,由于 f(n) = n = O(n^d),其中 d = 1,因此根据主定理的情况2,T(n) 的时间复杂度为 O(n^d*log n) = O(nlog n)。
对于第二个函数 T(n) = T(2n/3) + 1,根据主定理可知,a = 1,b = 3/2,f(n) = 1。计算 log_b(a) = log_(3/2)(1) = 0,由于 f(n) = 1 = O(n^d),其中 d = 0,因此根据主定理的情况1,T(n) 的时间复杂度为 O(n^d*log n) = O(log n)。
对于第三个函数 T(n) = 3T(n/4) + nlogn,根据主定理可知,a = 3,b = 4,f(n) = nlogn。计算 log_b(a) = log_4(3) ≈ 1.26,由于 f(n) = nlogn = O(n^d),其中 d ≈ 1.26,因此根据主定理的情况3,T(n) 的时间复杂度为 O(n^d) ≈ O(n^1.26)。
对于第四个函数 T(n) = 2T(n/2) + 2,根据主定理可知,a = 2,b = 2,f(n) = 2。计算 log_b(a) = log_2(2) = 1,由于 f(n) = 2 = O(n^d),其中 d = 0,因此根据主定理的情况1,T(n) 的时间复杂度为 O(n^d*log n) = O(log n)。
综上所述,第一个函数的时间复杂度为 O(nlog n),第二个函数的时间复杂度为 O(log n),第三个函数的时间复杂度为 O(n^1.26),第四个函数的时间复杂度为 O(log n)。
### 回答3:
利用主定理是一种用来估算递归算法时间复杂度的方法。主定理适用于一类具有递归形式的问题,形如 T(n) = aT(n/b) + f(n) 的递归方程式。
对于第一个函数 T(n) = 9T(n/3),其中 a = 9,b = 3,f(n) = n。根据主定理,若 f(n) = O(n^c)(其中 c >= 0),且 a/b^c < 1,则 T(n) = Θ(n^c)。在这个情况下,a/b^c = 9/(3^1) = 3 > 1。因此,主定理不适用于这个函数,我们无法利用主定理得出时间复杂度。
对于第二个函数 T(n) = T(2n/3),其中 a = 1,b = 2/3,f(n) = 1。根据主定理,若 f(n) = Θ(n^c * log^k(n))(其中 c >= 0,k >= 0),则 T(n) = Θ(n^c * log^(k+1)(n))。在这个情况下,f(n) = Θ(1) = Θ(n^0 * log^0(n))。我们可以看出 a/b^c = (2/3)^0 = 1 < 1,且 k+1 = 1+1 = 2。因此,根据主定理可知 T(n) = Θ(n^0 * log^2(n)) = Θ(log^2(n))。
对于第三个函数 T(n) = 3T(n/4),其中 a = 3,b = 4,f(n) = nlogn。根据主定理,若 f(n) = Θ(n^c * log^k(n))(其中 c > 0,k >= 0),则 T(n) = Θ(n^c * log^(k+1)(n))。在这个情况下,f(n) = Θ(nlogn) = Θ(n^1 * log^1(n))。我们可以看到 a/b^c = 3/(4^1) = 3/4 < 1,且 k+1 = 1+1 = 2。因此,根据主定理可知 T(n) = Θ(n^1 * log^2(n)) = Θ(nlog^2(n))。
对于第四个函数 T(n) = 2T(n/2),其中 a = 2,b = 2,f(n) = 2。根据主定理,若 f(n) = Θ(n^c)(其中 c >= 0),则 T(n) = Θ(n^c * log(n))。在这个情况下,f(n) = Θ(2) = Θ(n^0)。我们可以看到 a/b^c = 2/(2^0) = 2 > 1。因此,主定理不适用于这个函数,我们无法利用主定理得出时间复杂度。