Flux.withgradient()函数原理的数学表达式

假设我们有一个包含参数$\theta$的函数$f(x, \theta)$，其中$x$是输入。我们需要计算$f(x, \theta)$对于$\theta$的梯度，即：

$$\nabla_\theta f(x, \theta)$$

使用自动微分的思想，我们可以通过在前向传播过程中记录中间结果来计算梯度。具体来说，我们定义一个变量$grads$，用于记录梯度信息，然后在前向传播过程中计算中间结果，同时将中间结果对于$\theta$的梯度加入到$grads$中。在后向传播过程中，我们使用$grads$中的梯度信息来更新$\theta$，具体来说，我们根据链式法则有：

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial \theta}$$

其中$L$是损失函数，$y_i$是前向传播过程中的第$i$个中间结果。根据定义，$grads$中记录的就是$\frac{\partial L}{\partial y_i}$，因此我们只需要计算$\frac{\partial y_i}{\partial \theta}$即可。具体来说，我们可以使用链式法则展开：

$$\frac{\partial y_i}{\partial \theta} = \sum_{j=1}^m \frac{\partial y_i}{\partial z_j} \frac{\partial z_j}{\partial \theta}$$

其中$z_j$是前向传播过程中的第$j$个中间结果。我们可以递归地计算$\frac{\partial y_i}{\partial z_j}$和$\frac{\partial z_j}{\partial \theta}$，并将其乘起来，得到$\frac{\partial y_i}{\partial \theta}$。然后，我们将$\frac{\partial L}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial \theta}$加入到$\frac{\partial L}{\partial \theta}$中，最终得到$\nabla_\theta f(x, \theta)$。