求双曲抛物面x^2/a^2 -y^2/b^2 =2z和平面Ax+By+Cz+D=0的交线参数方程

首先，将平面Ax+By+Cz+D=0代入双曲抛物面方程中，可以得到：

(x^2/a^2 - y^2/b^2)/2 = (-Ax-By-D)/C

化简后可得：

Cx^2/a^2 - Cy^2/b^2 - 2Cz = 2CD/a^2 - 2BD/b^2

将C除到右边，得到：

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 2Cz/a^2 - 2CD/Ca^2 + 2BD/Cb^2

这是一个双曲抛物面的标准形式，可以根据需要转化为参数方程形式。

接下来，我们可以联立平面和双曲抛物面的方程，解得它们的交线方程：

Ax+By+C(2Cz/a^2 - 2CD/Ca^2 + 2BD/Cb^2) +D = 0

化简可得：

Ax+By+Cz(D/C - 2C^2/a^2 + 2BCb^2/Ca^2) = 0

这是一个平面的标准方程形式，可以通过参数化平面方程和双曲抛物面方程来求得交线的参数方程通式。

我们可以将平面方程中的z用参数t表示，得到：

z = (1/C)(D/C - 2C^2/a^2 + 2BCb^2/Ca^2) - (A/C)x - (B/C)y

将x和y用z表示，得到：

x = a√(z + y^2/b^2)

y = b√(z + x^2/a^2)

将z的表达式代入上述方程中，即可得到交线的参数方程通式：

x = a√[(1/C)(D/C - 2C^2/a^2 + 2BCb^2/Ca^2) - (A/C)x - (B/C)y + y^2/b^2]

y = b√[(1/C)(D/C - 2C^2/a^2 + 2BCb^2/Ca^2) - (A/C)x - (B/C)y + x^2/a^2]

其中，参数t的取值可以根据需要求解。