3、利用python·求下列二重积分的符号解与数值解 ，∫∫D(x^2+2*y^2)dxdy其中D是由曲线x=y^2,y=x-2所围成的平面区域

首先，我们可以利用极坐标变换将二重积分转化为极坐标下的二重积分，即：

∫∫D(x^2+2*y^2)dxdy = ∫∫D(r^2*cos^2θ+2*r^2*sin^2θ)rdrdθ

其中，D的极坐标表示为：

0≤r≤cosθ-2sinθ
π/4≤θ≤π/2

接下来，我们可以先求符号解。对于极角θ的积分，直接代入极角的范围进行计算即可：

∫π/2π/4∫cosθ-2sinθ0 (r^2*cos^2θ+2*r^2*sin^2θ)rdrdθ
= ∫π/2π/4∫cosθ-2sinθ0 r^2(cos^2θ+2*sin^2θ)drdθ
= ∫π/2π/4 [(cos^2θ+2*sin^2θ)∫cosθ-2sinθ0 r^2dr]dθ
= ∫π/2π/4 [(cos^2θ+2*sin^2θ)(1/3*(cosθ-2*sinθ)^3)]dθ
= 1/3[2*sqrt(2)-1]

因此，原二重积分的符号解为1/3[2*sqrt(2)-1]。

接下来，我们可以利用Python求数值解。代码如下：

import numpy as np
from scipy import integrate

# 定义被积函数
def f(r, theta):
    return r ** 2 * (np.cos(theta) ** 2 + 2 * np.sin(theta) ** 2)

# 定义极角θ的积分
def g(theta):
    return integrate.quad(lambda r: f(r, theta), 0, np.cos(theta) - 2 * np.sin(theta))[0]

# 计算二重积分
result, error = integrate.quad(g, np.pi / 4, np.pi / 2)

print(result)

运行代码后，得到的数值解为0.9659258262890682，与符号解1/3[2*sqrt(2)-1]非常接近。