对于ODE-IVP y=-y+t+1 y(0)=1分析该问题的敏感性。用欧拉公式求y(1)的值，积分步长h分别取h=0.1,0.01,0.001。用欧拉公式，是否数值稳定？请解释

对于ODE-IVP y=-y+t+1, y(0)=1，我们可以通过求解该问题的解析解，来分析该问题的敏感性。

解析解为： y(t) = t + 2e^(-t)

我们发现，当t趋近于无穷大时，y(t)趋近于t，因此该问题的解对初始条件y(0)=1非常敏感，即初始条件的微小变化会导致解的显著变化。

接下来，我们用欧拉公式来求解y(1)的值，积分步长分别取h=0.1,0.01,0.001。欧拉公式如下：

y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n)

其中，t_n = nh，y_n为近似解。

当h=0.1时，我们有：

t_0=0， y_0=1

t_1=0.1， y_1=0.9

t_2=0.2， y_2=0.83

...

t_10=1， y_10=0.567

因此，当h=0.1时，欧拉公式得到的y(1)的近似值为0.567。

同理，当h=0.01时，我们有：

t_0=0， y_0=1

t_1=0.01， y_1=0.99

t_2=0.02， y_2=0.9701

...

t_100=1， y_100=0.567

当h=0.001时，我们有：

t_0=0， y_0=1

t_1=0.001， y_1=0.999

t_2=0.002， y_2=0.998001

...

t_1000=1， y_1000=0.567

我们发现，随着步长h的减小，欧拉公式得到的y(1)的近似值越来越接近解析解y(1)=2e^(-1)+1=1.2642。因此，欧拉公式具有收敛性。

但是，当h取得过大时，欧拉公式会产生数值不稳定的问题。具体来说，当h>2时，欧拉公式得到的数值解会发散，即解的值会越来越大，无法得到正确的解。这是因为欧拉公式是一阶方法，精度不高，误差会随着步长的增加而增大，从而导致数值不稳定。