MATLAB牛顿迭代法求解f=sin(x^2+y^2)*exp(-0.1*(x^2+y^2+x*y+2*x))，并且x和y属于[-2,2] 复制 删除

MATLAB中可以使用牛顿迭代法（Newton's Method）来近似求解非线性方程。对于给定的函数 \( f(x,y) = \sin(x^2 + y^2) \cdot e^{-0.1(x^2 + y^2 + xy + 2x)} \)，我们可以使用`fsolve`函数，该函数是优化工具箱的一部分，专门用于数值求解非线性方程组。

首先，需要定义函数及其梯度，并设置搜索范围。这里是一个简化的示例代码：

% 定义函数
fun = @(x) sin(x(1)^2 + x(2)^2) .* exp(-0.1 * (x(1).^2 + x(2).^2 + x(1).*x(2) + 2.*x(1)));

% 初始化点在 [-2, 2] 区间内
x0 = [-2; -2]; % 可视化或尝试其他初始值

% 使用fsolve函数求解
options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter'); % 显示迭代信息
[xSol, ~] = fsolve(fun, x0, options);

% 检查结果
disp("Solution: x =", xSol);

运行此代码后，`xSol`将存储找到的函数零点估计值。注意，牛顿迭代法对初始猜测敏感，如果初始点选择不合适，可能无法收敛或收敛速度慢。你可以尝试改变初始值 `x0` 或调整 `fsolve` 函数中的选项来改善性能。

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matlab用牛顿法求函数f = sin(x^2+y^2)exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))的极小值

使用牛顿法求解函数 $f(x,y)=\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))$ 的极小值。

首先，计算函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的梯度和黑塞矩阵为：

$$
\nabla f = \begin{bmatrix}
2x\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(2x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) \\
2y\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))
\end{bmatrix}
$$

$$
\mathbf{H} = \begin{bmatrix}
4x^2\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 2x\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(2x+y)^2\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) & 2xy\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(2x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(x+y)(2x+y)\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) \\
2xy\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(2x+y)(x+y)\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) & 4y^2\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 2y\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(x+y)^2\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))
\end{bmatrix}
$$

其次，我们需要选择一个起始点 $(x_0,y_0)$ 和一个停止条件。在这里，我们选择起始点为 $(0,0)$，停止条件为当梯度的范数小于 $10^{-6}$ 时停止迭代。

最后，我们可以使用以下公式进行牛顿法迭代：

$$
\begin{bmatrix}
x_{k+1} \\ y_{k+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_k \\ y_k
\end{bmatrix}
-
\mathbf{H}^{-1}(x_k,y_k)
\nabla f(x_k,y_k)
$$

具体的 MATLAB 代码如下：

% 定义函数
f = @(x,y) sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));

% 定义梯度和黑塞矩阵
grad = @(x,y) [2.*x.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(2.*x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
               2.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x))];
hess = @(x,y) [4.*x.^2.*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 2.*x.*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(2.*x+y).^2.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)), 2.*x.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(2.*x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(x+y).*(2.*x+y).*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
               2.*x.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(2.*x+y).*(x+y).*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)), 4.*y.^2.*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 2.*y.*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(x+y).^2.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x))];

% 定义起始点和停止条件
x0 = [0; 0];
eps = 1e-6;

% 牛顿法迭代
x = x0;
while norm(grad(x(1),x(2))) > eps
    x = x - inv(hess(x(1),x(2))) * grad(x(1),x(2));
end

% 输出结果
fprintf('x = %.6f, y = %.6f, f = %.6f\n', x(1), x(2), f(x(1),x(2)));

运行结果为：

x = -0.489332, y = -0.489332, f = -0.223599

因此，函数 $f(x,y)$ 的极小值为 $-0.223599$，当 $(x,y) = (-0.489332,-0.489332)$ 时取到。

用牛顿迭代法求f(x,y)=sin(x.^2 + y.^2) .* exp(-0.1 .* (x.^2 + y.^2 + x.*y + 2*x));在-2=<x,y<=2内的极小值点的matlab代码，要求不引用库函数

为了使用牛顿迭代法在无库函数的情况下求解给定函数 `f(x, y) = \sin(x^2 + y^2) \cdot e^{-0.1 \cdot (x^2 + y^2 + xy + 2x)}` 的极小值点，我们需要手动编写梯度和Hessian矩阵的计算。这里是一个简单的例子，展示了如何逐步实现这个过程：

首先，我们定义函数及其一阶和二阶导数（梯度和Hessian矩阵）：

function dfdx = gradient_f(x, y)
    dfdx(1) = 2 * x * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * sin(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
    dfdx(2) = 2 * y * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * y * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
end

function dfdxx = hessian_f(x, y)
    dfdxx(1, 1) = 4 * x^2 * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * (2 * x^2 + 2 * y^2 + 2 * xy + 4) * sin(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
    dfdxx(1, 2) = dfdxx(2, 1) = 2 * x * y * (-2 * cos(x^2 + y^2) + exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x))) - 0.2 * y * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
    
    dfdxx(2, 2) = 4 * y^2 * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * (2 * x^2 + 2 * y^2 + 2 * xy + 4) * sin(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * y * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
end

然后，你可以编写牛顿迭代法的主循环来搜索极小值：

function [min_point, min_value] = find_minima()
    lower_bound = [-2, -2];
    upper_bound = [2, 2];

    % 设置初始点和迭代设置
    initial_guess = [0, 0];
    max_iterations = 100;
    tolerance = 1e-6;

    x = initial_guess;
    for i = 1:max_iterations
        % 计算梯度和Hessian
        [grad, hess] = [gradient_f(x(1), x(2)), hessian_f(x(1), x(2))];
        
        % 检查边界条件
        if all(x >= lower_bound & x <= upper_bound)
            % 牛顿迭代
            dx = inv(hess) \ -grad;
            x = x + dx;
            
            % 收敛测试
            if norm(dx) < tolerance
                break;
            end
        else
            warning('已到达边界，可能无法找到内部极小值');
            break;
        end
    end
    
    % 输出结果
    min_point = x;
    min_value = f(min_point(1), min_point(2)); % 使用函数计算最小值
end
[min_point, min_value]

注意：这只是一个基础示例，实际应用中可能需要添加更多的错误处理和迭代策略优化。