-△u+u^3=1的Matlab编程求解

对于二维的偏微分方程 $-\Delta u+u^3=1$，可以使用有限差分法进行求解。以下是一种 Matlab 编程求解的方法：

% 定义区域大小和步长
L = 1; % 区域大小
N = 100; % 离散点数
h = L/N; % 空间步长
T = 10; % 模拟时间
M = 10000; % 时间步数
dt = T/M; % 时间步长

% 初始化解
u = zeros(N+1, N+1); % N+1个点，包括边界点
u_new = u;

% 设定初始条件和边界条件
u(ceil(N/2), ceil(N/2)) = 1; % 中心点初始化为1
u(:, 1) = 0; % 左边界
u(:, end) = 0; % 右边界
u(1, :) = 0; % 上边界
u(end, :) = 0; % 下边界

% 迭代求解
for n = 1:M
    for i = 2:N
        for j = 2:N
            % 中心差分格式求解
            u_new(i, j) = u(i, j) + dt*(1 - u(i, j)^3 - (u(i+1, j)-2*u(i, j)+u(i-1, j))/h^2 - (u(i, j+1)-2*u(i, j)+u(i, j-1))/h^2);
        end
    end
    u = u_new;
end

% 可视化结果
x = linspace(0, L, N+1);
y = linspace(0, L, N+1);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
surf(X, Y, u);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u');

在 Matlab 中运行上述代码，可以得到解的可视化结果。注意，该程序中使用了 Forward Euler 方法进行时间离散化，因此需要控制时间步长 $\Delta t$ 的大小以保证数值稳定性。