连续时间傅立叶级数相乘

假设有两个连续时间函数 $f(t)$ 和 $g(t)$，它们的连续时间傅立叶级数分别为：

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\omega_n t}$$

$$g(t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} d_m e^{i\omega_m t}$$

其中，$c_n$ 和 $d_m$ 分别为 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅立叶系数，$\omega_n$ 和 $\omega_m$ 分别为对应的角频率。

它们的乘积为：

$$f(t)g(t) = \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\omega_n t}\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty} d_m e^{i\omega_m t}\right)$$

$$= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} c_n d_m e^{i(\omega_n+\omega_m)t}$$

由于连续时间傅立叶级数是可逆的，所以 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的乘积的傅立叶级数为：

$$f(t)g(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k^{'} e^{i\omega_k t}$$

其中，

$$c_k^{'} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t)e^{-i\omega_k t} dt$$

代入 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅立叶级数，可得：

$$c_k^{'} = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} c_n d_m \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega_n+\omega_m-\omega_k)t} dt$$

因为 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega_n+\omega_m-\omega_k)t} dt$ 为狄拉克 $\delta$ 函数，所以：

$$c_k^{'} = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} c_n d_m \delta(\omega_n+\omega_m-\omega_k)$$

因此，$f(t)$ 和 $g(t)$ 的乘积的连续时间傅立叶级数为：

$$f(t)g(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} c_n d_m \delta(\omega_n+\omega_m-\omega_k)\right) e^{i\omega_k t}$$