C++ 怎么实现用一组点模拟一条曲线

在 C++ 中，曲线拟合是一种常用的方法来对一组点进行拟合，目的是找到一条曲线将这些点尽可能的贴合。

常用的曲线拟合方法有多项式拟合、最小二乘法拟合、样条函数拟合等。

以多项式拟合为例，其基本思想是在已知数据点 $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \cdots, (x_n,y_n)$ 的情况下，构造一个 $n$ 次多项式 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$，使得该多项式最小化所有数据点与该多项式之间的误差平方和。

具体实现方法如下：

1. 构造矩阵 $X$ 和向量 $Y$：

$$X = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_m & x_m^2 & \cdots & x_m^n \end{bmatrix}, Y = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix}$$

其中 $m$ 表示数据点的数量，$n$ 表示多项式的次数。

2. 求解方程组 $X^TXa = X^TY$，其中 $a$ 是多项式系数向量。

3. 根据多项式系数 $a$ 可以求出拟合曲线上某点的纵坐标。

示例代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>  // 需要安装 Eigen 库
using namespace std;
using namespace Eigen;

// 多项式拟合
void polynomialFit(vector<double> xList, vector<double> yList, int degree, double x, double& y) {
    int n = xList.size();
    MatrixXd X(n, degree + 1);
    VectorXd Y(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double xn = 1;
        for (int j = 0; j <= degree; j++) {
            X(i, j) = xn;
            xn *= xList[i];
        }
        Y(i) = yList[i];
    }
    VectorXd a = (X.transpose() * X).inverse() * X.transpose() * Y;
    y = 0;
    double xn = 1;
    for (int i = 0; i <= degree; i++) {
        y += a(i) * xn;
        xn *= x;
    }
}

// 求曲线上某点的坐标
void calcPoint(double x, vector<double> xList, vector<double> yList, int degree, double& y) {
    polynomialFit(xList, yList, degree, x, y);
}

int main() {
    vector<double> xList = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> yList = {1, 4, 9, 16, 25};
    int degree = 2;  // 二次多项式拟合

    double x = 2.5, y;
    calcPoint(x, xList, yList, degree, y);
    cout << "曲线上 (" << x << ", " << y << ")" << endl;

    return 0;
}

以上代码实现了对于一组点 $(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)$ 的二次多项式拟合，并计算了曲线上 $x=2.5$ 时的纵坐标。需要注意的是，多项式拟合的精度和多项式的次数有关，如果次数过高可能导致过拟合，次数过低可能导致欠拟合，需要根据具体情况进行调整。