c++插值法生成Delaunay三角网

Delaunay 三角剖分是计算机图形学中一个非常重要的概念，它可以将大量的散乱点云数据转化为具有结构的三角网格，被广泛应用于计算机辅助设计、地图绘制、医学成像等领域。

插值法是生成 Delaunay 三角网的一种常用方法，它通常包括以下几个步骤：

1. 随机生成一组散乱的点。

2. 对这些点进行插值，生成一个连续的函数。

3. 根据插值函数的等值线进行三角剖分，生成 Delaunay 三角网。

在实现插值法生成 Delaunay 三角网的过程中，需要使用到一些数学基础知识，如数值计算、线性代数、二维几何等。

下面是一个简单的 C++ 代码示例，演示了如何用插值法生成 Delaunay 三角网：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 二维点坐标
struct Point {
    double x, y;
};

// 边结构体
struct Edge {
    int a, b; // 点的编号
    double w; // 边的权值
};

// 计算两点之间的欧几里得距离
double dist(Point a, Point b) {
    return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

// 计算三角形面积
double area(Point a, Point b, Point c) {
    double abx = b.x - a.x, aby = b.y - a.y;
    double acx = c.x - a.x, acy = c.y - a.y;
    return fabs(abx * acy - acx * aby) / 2.0;
}

// 判断点是否在三角形内部
bool inTriangle(Point p, Point a, Point b, Point c) {
    double Sabc = area(a, b, c);
    double Sabp = area(a, b, p);
    double Sapc = area(a, p, c);
    double Sbpc = area(b, p, c);
    return fabs(Sabc - Sabp - Sapc - Sbpc) < 1e-9;
}

// 计算三角形的外接圆半径
double circumradius(Point a, Point b, Point c) {
    double ab = dist(a, b);
    double ac = dist(a, c);
    double bc = dist(b, c);
    double s = (ab + ac + bc) / 2.0;
    double abc = ab * ac * bc;
    return abc / (4.0 * sqrt(s * (s - ab) * (s - ac) * (s - bc)));
}

// 判断是否存在外接圆包含所有点
bool ok(Point p, vector<Point> &points, vector<Edge> &edges) {
    for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b;
        Point pa = points[a], pb = points[b];
        if (inTriangle(p, pa, pb, points[i]) && circumradius(pa, pb, points[i]) < edges[i].w) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 生成 Delaunay 三角网
vector<Edge> delaunay(vector<Point> &points) {
    vector<Edge> edges;
    int n = points.size();
    for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n - 1; j++) {
            for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                // 判断是否存在外接圆包含所有点
                if (circumradius(points[i], points[j], points[k]) < 1e9 && ok(points[(i + j + k) % n], points, edges)) {
                    edges.push_back({ i, j, dist(points[i], points[j]) });
                    edges.push_back({ j, k, dist(points[j], points[k]) });
                    edges.push_back({ k, i, dist(points[k], points[i]) });
                }
            }
        }
    }
    return edges;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<Point> points(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> points[i].x >> points[i].y;
    }
    // 生成 Delaunay 三角网
    vector<Edge> edges = delaunay(points);
    // 输出结果
    for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
        cout << edges[i].a << " " << edges[i].b << endl;
    }
    return 0;
}

在这个例子中，我们使用了一个简单的暴力算法来生成 Delaunay 三角网。该算法的时间复杂度为 $O(n^4)$，对于大规模数据可能会比较慢。实际上，有很多更加高效的算法可以用来生成 Delaunay 三角网，例如 Bowyer-Watson 算法、法向量算法等。如果你对此感兴趣，可以进一步了解相关知识。