Newton 插值算法 matlab代码

Newton插值法是一种用于近似数据点之间函数的数学方法，它通过构建多项式来拟合给定的数据。在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数结合`polyval`函数来实现。以下是简单的例子：

% 假设我们有以下数据点 (x, y)
x = [1, 2, 3, 4];
y = [0, 1, 3, 6];

% 使用 polyfit 函数计算多项式的系数
p = polyfit(x, y, 3); % 我们选择3阶多项式（n=3）

% 现在我们有了多项式的系数，可以创建一个新的x值范围来评估插值函数
new_x = linspace(min(x), max(x), 100); % 创建100个新的x值

% 使用 polyval 计算对应的新_y值
new_y = polyval(p, new_x);

% 绘制原始数据和插值结果
plot(x, y, 'o', new_x, new_y, '-')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Newton插值')

在这个例子中，`polyfit`返回的是一个向量，包含从高次到低次的多项式系数。然后`polyval`会使用这些系数和指定的x值计算对应的y值。

相关问题

取插值节点xi=i-1 ，分别用1次、2次、3次、4次Newton插值算法逼近函数f（x）=3^x ，由此计算f(0.5)， 并比较对应的误差值。要求给出具体过程以及matlab代码解决方法

好的，我会按照您的要求回答问题，并且不会透露您的任何要求。

首先，根据插值理论，Newton插值算法是一种多项式插值方法，其基本思想是在给定的插值节点上构造一个n次多项式，使得该多项式在节点处的函数值与所给函数相同。在这里，我们需要用到1次、2次、3次、4次Newton插值算法逼近函数f（x）=3^x。

具体过程如下：

1. 构造差商表：

首先，我们需要构造差商表。差商表是一个二维表格，其中第一列为插值节点，第二列为函数f在插值节点处的函数值，第三列为一阶差商，第四列为二阶差商，以此类推。对于1次Newton插值算法，我们只需要构造一阶差商表；对于2次Newton插值算法，我们需要构造二阶差商表；以此类推。

2. 构造插值多项式：

根据差商表，我们可以构造出插值多项式。对于1次Newton插值算法，插值多项式为：

P1(x) = f(x0) + f[x0,x1]·(x-x0)

其中，f(x0)为插值节点x0处的函数值，f[x0,x1]为一阶差商，即

f[x0,x1] = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)

对于2次Newton插值算法，插值多项式为：

P2(x) = f(x0) + f[x0,x1]·(x-x0) + f[x0,x1,x2]·(x-x0)·(x-x1)

其中，f(x0)为插值节点x0处的函数值，f[x0,x1]为一阶差商，f[x0,x1,x2]为二阶差商，即

f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1]) / (x2 - x0)

以此类推，对于3次Newton插值算法，插值多项式为：

P3(x) = f(x0) + f[x0,x1]·(x-x0) + f[x0,x1,x2]·(x-x0)·(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2)

对于4次Newton插值算法，插值多项式为：

P4(x) = f(x0) + f[x0,x1]·(x-x0) + f[x0,x1,x2]·(x-x0)·(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) + f[x0,x1,x2,x3,x4]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)

3. 计算f(0.5)的近似值及误差：

根据插值多项式，我们可以计算出f(0.5)的近似值。对于1次Newton插值算法，近似值为：

P1(0.5) = f(0) + f[0,1]·(0.5-0)

对于2次Newton插值算法，近似值为：

P2(0.5) = f(0) + f[0,1]·(0.5-0) + f[0,1,2]·(0.5-0)·(0.5-1)

对于3次Newton插值算法，近似值为：

P3(0.5) = f(0) + f[0,1]·(0.5-0) + f[0,1,2]·(0.5-0)·(0.5-1) + f[0,1,2,3]·(0.5-0)·(0.5-1)·(0.5-2)

对于4次Newton插值算法，近似值为：

P4(0.5) = f(0) + f[0,1]·(0.5-0) + f[0,1,2]·(0.5-0)·(0.5-1) + f[0,1,2,3]·(0.5-0)·(0.5-1)·(0.5-2) + f[0,1,2,3,4]·(0.5-0)·(0.5-1)·(0.5-2)·(0.5-3)

最后，我们可以计算出相应的误差值，即

误差 = |近似值 - 真实值|

其中，真实值为f(0.5) = 3^0.5 = 1.732。

Matlab代码如下：

% 构造插值节点
x = [0 1 2 3 4];

% 构造差商表
f = [1 3 9 27 81];
f1 = diff(f) ./ diff(x);
f2 = diff(f1) ./ diff(x(1:end-1));
f3 = diff(f2) ./ diff(x(1:end-2));
f4 = diff(f3) ./ diff(x(1:end-3));

% 计算插值多项式
p1 = f(1) + f1(1) .* (0.5 - x(1));
p2 = f(1) + f1(1) .* (0.5 - x(1)) + f2(1) .* (0.5 - x(1)) .* (0.5 - x(2));
p3 = f(1) + f1(1) .* (0.5 - x(1)) + f2(1) .* (0.5 - x(1)) .* (0.5 - x(2)) + f3(1) .* (0.5 - x(1)) .* (0.5 - x(2)) .* (0.5 - x(3));
p4 = f(1) + f1(1) .* (0.5 - x(1)) + f2(1) .* (0.5 - x(1)) .* (0.5 - x(2)) + f3(1) .* (0.5 - x(1)) .* (0.5 - x(2)) .* (0.5 - x(3)) + f4(1) .* (0.5 - x(1)) .* (0.5 - x(2)) .* (0.5 - x(3)) .* (0.5 - x(4));

% 计算误差
err1 = abs(p1 - 1.732);
err2 = abs(p2 - 1.732);
err3 = abs(p3 - 1.732);
err4 = abs(p4 - 1.732);

其中，err1、err2、err3、err4分别为1次、2次、3次、4次Newton插值算法的误差值。

取插值节点 ，分别用1次、2次、3次、4次Newton插值算法逼近函数f（x）=3^x ，由此计算f(0.5)， 并比较对应的误差值。要求给出具体过程以及matlab代码解决方法

首先，我们需要确定插值节点。我们选择以0为起点，以1、2、3、4为插值节点。即$x_0=0,x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。

其次，我们需要求出插值多项式的系数。

1. 1次Newton插值算法

根据1次Newton插值公式：
$$
P_1(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)
$$
其中，$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$，代入$f(x)=3^x$得：
$$
P_1(x)=1+2(x-0)
$$
因此，$P_1(x)$为：
$$
P_1(x)=2x+1
$$
当$x=0.5$时，$P_1(x)$的值为$P_1(0.5)=2\times0.5+1=2$，误差为$|f(0.5)-P_1(0.5)|=|1.5|$。

2. 2次Newton插值算法

根据2次Newton插值公式：
$$
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)
$$
其中，$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$，$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$，代入$f(x)=3^x$得：
$$
P_2(x)=1+2(x-0)+\frac{3^2-2\times 3^1+1}{2}(x-0)(x-1)
$$
化简得：
$$
P_2(x)=2x^2-3x+1
$$
当$x=0.5$时，$P_2(x)$的值为$P_2(0.5)=2\times 0.5^2-3\times 0.5+1=1.75$，误差为$|f(0.5)-P_2(0.5)|=|1.25|$。

3. 3次Newton插值算法

根据3次Newton插值公式：
$$
\begin{aligned}
P_3(x)&=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\
&+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
\end{aligned}
$$
其中，$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$，$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$，$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}$，代入$f(x)=3^x$得：
$$
P_3(x)=1+2(x-0)+\frac{3^2-2\times 3^1+1}{2}(x-0)(x-1)+\frac{3^3-3\times 3^2+3\times 3^1-1}{6}(x-0)(x-1)(x-2)
$$
化简得：
$$
P_3(x)=\frac{3}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2+\frac{11}{2}x+1
$$
当$x=0.5$时，$P_3(x)$的值为$P_3(0.5)=\frac{3}{2}\times 0.5^3-\frac{9}{2}\times 0.5^2+\frac{11}{2}\times 0.5+1=1.625$，误差为$|f(0.5)-P_3(0.5)|=|1.375|$。

4. 4次Newton插值算法

根据4次Newton插值公式：
$$
\begin{aligned}
P_4(x)&=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\
&+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\\
&+f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
\end{aligned}
$$
其中，$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}$，$f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}$，代入$f(x)=3^x$得：
$$
P_4(x)=1+2(x-0)+\frac{3^2-2\times 3^1+1}{2}(x-0)(x-1)+\frac{3^3-3\times 3^2+3\times 3^1-1}{6}(x-0)(x-1)(x-2)+\frac{3^4-4\times 3^3+6\times 3^2-4\times 3^1+1}{24}(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)
$$
化简得：
$$
P_4(x)=\frac{9}{8}x^4-\frac{33}{8}x^3+\frac{77}{16}x^2-\frac{25}{8}x+1
$$
当$x=0.5$时，$P_4(x)$的值为$P_4(0.5)=\frac{9}{8}\times 0.5^4-\frac{33}{8}\times 0.5^3+\frac{77}{16}\times 0.5^2-\frac{25}{8}\times 0.5+1=1.5625$，误差为$|f(0.5)-P_4(0.5)|=|1.4375|$。

因此，可以发现，随着插值多项式次数的增加，误差逐渐减小。

MATLAB代码如下：