使用【matlab】写【利用 Taylor 公式近似计算 sin 7, 并分析展开 和展开阶数η对近似值的影响】的代码

在MATLAB中，你可以使用Taylor公式来近似计算sin(x)函数。Taylor公式的一个常见形式是：

\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(\eta)}(a)}{\eta!}(x-a)^\eta \]

其中，\( a \) 是参考点，\( f^{(\eta)}(a) \) 表示 \( f \) 的第 \( \eta \) 阶导数在 \( a \) 处的值。

下面是一个简单的例子，展示如何编写一个函数来计算sin(7)的Taylor展开，并分析不同阶数η对结果的影响：

function [approx, error] = taylor_sin(n)
    % 设置参考点a=0
    a = 0;
    x = 7; % 求解的x值

    % 计算各个阶数的导数值
    derivatives = @(n) diff(sind(a + linspace(0, x, n)), 1);
    
    % 初始化近似值和误差
    approx = sind(a); % 初始值为sin(a)，即0
    error = zeros(1, n);

    % 进行泰勒级数展开并计算误差
    for eta = 1:n
        term = derivatives(eta) / factorial(eta) * (x - a)^(eta - 1);
        approx += term;
        error(eta) = abs(approx - sind(x)); % 记录每个阶数的绝对误差
    end

    disp(['Taylor series approximation of sin(7) with different orders: ' num2str(approx)]);
    disp(['Error for each order: ', num2str(error), ' (lower is better)']);
end

% 调用函数，例如，比较前4阶和前8阶的近似
[taylor_4, err_4] = taylor_sin(4);
[taylor_8, err_8] = taylor_sin(8);

当你运行这个函数时，它将分别计算sin(7)的4阶和8阶Taylor展开，并打印出每种情况下的近似值以及对应的误差。这可以帮助你理解随着展开阶数增加，近似精度是如何提高的。