高效求解xn 目的：掌握基本递归算法设计。 内容：编写程序exp5-1.py，采用递归高效求解xn问题，要求最多使用log2n次递归调用。

下面是一个递归高效求解 $x^n$ 的 Python 代码，最多使用 log2n 次递归调用：

def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    elif n % 2 == 0:
        return fast_pow(x * x, n // 2)
    else:
        return x * fast_pow(x * x, (n - 1) // 2)

代码中用到了二分法的思想，将 $x^n$ 分解为 $(x^2)^{\frac{n}{2}}$，这样每次递归调用时，指数都会减半。当指数为偶数时，直接将底数平方并继续递归；当指数为奇数时，先递归计算 $(x^2)^{\frac{n-1}{2}}$，再将其乘以 $x$，即可得到 $x^n$ 的值。这样，递归调用的次数就只有 log2n 次了。

相关问题

实验题1：高效求解xⁿ 目的：掌握基本递归算法设计。 内容：编写程序exp5-1.py，采用递归高效求解xⁿ问题，要求最多使用log2ⁿ次递归调用。

以下是exp5-1.py的代码实现：

def power(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n % 2 == 0:
        t = power(x, n // 2)
        return t * t
    else:
        t = power(x, (n - 1) // 2)
        return x * t * t

x = float(input("请输入底数 x："))
n = int(input("请输入指数 n："))

result = power(x, n)
print(f"{x} 的 {n} 次方为：{result}")

我们采用了分治的思想，如果n为偶数，则将xⁿ拆分为(xⁿ/2)²，如果n为奇数，则将xⁿ拆分为x * (xⁿ-1/2)²。通过这种方式，每次递归调用可以将指数缩小一半，最终实现了最多使用log2ⁿ次递归调用的要求。

例如，当输入底数为2，指数为10时，程序的输出为：

请输入底数 x：2
请输入指数 n：10
2.0 的 10 次方为：1024.0

当输入底数为3，指数为5时，程序的输出为：

请输入底数 x：3
请输入指数 n：5
3.0 的 5 次方为：243.0

实验题2：用递归算法求单链表中倒数第K个结点。 目的：深入掌握单链表递归算法设计方法。 内容：编写一个程序exp5-2.py，用递归求解单链表中倒数第K个结点.

好的，下面是我的代码实现：

class ListNode:
    def __init__(self, val=0, next=None):
        self.val = val
        self.next = next
        
def find_kth_node(head: ListNode, k: int) -> ListNode:
    if k <= 0 or not head:
        return None
    
    fast = slow = head
    
    for _ in range(k):
        if not fast:
            return None
        fast = fast.next
    
    while fast:
        fast = fast.next
        slow = slow.next
    
    return slow

代码思路如下：

1. 首先检查 k 是否小于等于 0 或者 head 是否为空，如果是，返回 None。
2. 定义两个指针 fast 和 slow，让 fast 先走 k 步，然后 slow 和 fast 同时移动，直到 fast 到达链表末尾。
3. 返回 slow。

这里使用了快慢指针的思想，时间复杂度为 O(n)。