5. 用Matlab求出满足如下条件的三次样条插值函数，并画出对应的图像，观察图像在结点处的光滑性。 已知数据表 i 0 1 2 xi 2.5 7.5 10 f（xi）4.0 7.0 5.0 f’(xi) 0.13 -0.13

在MATLAB中，你可以使用`spline`函数来创建三次样条插值曲线，并使用`ezsurf`或`surf`函数画出图像。首先，你需要准备数据：

% 数据
x = [0; 1; 2];       % 结点位置
yi = [4.0; 7.0; 5.0];  % 函数值
yi_prime = [0.13; -0.13];  % 导数值

% 计算三次样条插值
[tck, df] = spline(x, yi, yi_prime);  % tck保存了插值信息

% 创建插值函数 handle
f_interpolated = @(x) interpolate(x, tck);

% 定义插值函数的辅助函数
function y = interpolate(x, tck)
    y = interp1(tck(1), tck(2:end), x);
end

% 插值点
x_new = linspace(min(x), max(x), 100);  % 细网格用于绘制

% 计算插值后的函数值
y_new = f_interpolated(x_new);

% 绘制三次样条插值曲线
figure;
surf(x_new, ones(size(x_new)), y_new);
xlabel('x');
ylabel('z');
zlabel('f(x)');
title('三次样条插值');

% 观察节点处的光滑性
hold on;
scatter(x, yi, 'filled', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
grid on;
legend('插值曲面', '节点');

这将生成一个三维表面图，显示了三次样条插值函数。由于三次样条在节点处的导数连续，所以插值曲线通常会在这些点显得光滑，不会有突然的变化。