函数cosx/x的反常积分区间0到4pi是收敛还是扩散

函数cosx/x的反常积分在区间0到4π是发散的。这是因为在积分区间内，当x趋近于0时，被积函数cosx/x的绝对值趋近于无穷大，无法满足反常积分收敛的定义。因此，该反常积分在该区间内不存在有限的定积分值。

相关问题

证明函数cosx/x的反常积分区间0到4pi扩散

要证明函数cos(x)/x的反常积分在区间0到4π上发散，可以使用极限比较测试法。

具体来说，我们可以考虑比较函数f(x) = cos(x)/x和一个已知的发散的函数g(x) = 1/x，当x趋近于无穷大时，两个函数的极限都等于零，即：

lim x->∞ f(x)/g(x) = lim x->∞ x*cos(x) = ∞

因此，根据极限比较测试法，如果一个函数在某一点x0处与一个发散的函数g(x)的比值趋近于无穷大，则该函数的反常积分也会在该点处发散。

由于f(x)和g(x)在区间[0，4π]上都是非负的，我们可以考虑比较它们在该区间上的积分，即：

∫[0,4π] f(x) dx / ∫[0,4π] g(x) dx

其中，第一个积分是f(x)在[0,4π]上的反常积分，而第二个积分是g(x)在[0,4π]上的反常积分，它等于：

∫[0,4π] g(x) dx = ∫[0,4π] 1/x dx = ∞

因此，我们只需要证明第一个积分也是发散的即可。

由于f(x)在x=0处有一个可去的奇点，我们可以将其分为两部分，即：

∫[0,4π] f(x) dx = ∫[0,δ] f(x) dx + ∫[δ,4π] f(x) dx

其中，δ是一个小正数，使得f(x)在区间[0,δ]上是有界的。因此，第一个积分是有限的，可以忽略。

对于第二个积分，我们可以使用分部积分法，令u = 1/x，dv = cos(x) dx，则du = -1/x^2 dx，v = sin(x)，有：

∫[δ,4π] f(x) dx = ∫[δ,4π] cos(x)/x dx
= [sin(x)/x]δ^4π - ∫[δ,4π] sin(x)/x^2 dx
= sin(δ)/δ - sin(4π)/4π - ∫[δ,4π] sin(x)/x^2 dx

当δ趋近于零时，sin(δ)/δ趋近于1，因此第一个项是有限的。而第二个项可以使用同样的方法继续分部积分，并得到：

∫[δ,4π] sin(x)/x^2 dx = [-cos(x)/x]δ^4π + ∫[δ,4π] 2cos(x)/x^3 dx
= cos(δ)/δ + cos(4π)/4π + 2∫[δ,4π] cos(x)/x^3 dx

同

1-cosx/x 极限

当$x$趋近于0时，$1-\cos x$趋近于$\dfrac{1}{2}x^2$，$x$趋近于0时，$\dfrac{\sin x}{x}$趋近于1，因此：

$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin^2 x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$$

所以，$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot x=\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$。

因此，$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0$。