在n*n的方格棋盘放置了n个皇后,使得它们不相互攻击(即任意2个皇后不允许处在同一排,同一列,也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。 你的任务是,对于给定的n,求出有多少种合法的放置方法。
时间: 2023-05-31 07:19:48 浏览: 233
### 回答1:
这是一个关于在 $n \times n$ 的棋盘上放置 $n$ 个皇后的问题,其中皇后不能相互攻击,即在同一行、同一列或同一对角线上。
有几种经典的解法可以解决这个问题,下面介绍两种:
1. 回溯算法:从第一行开始,每次在下一行中选择一个合法的位置放置皇后,并继续递归到下一行。如果到了最后一行仍然能够放置,则得到了一个解。如果无法放置,则需要回溯到上一行重新选择位置。
2. 位运算优化的回溯算法:对于每一行,使用一个二进制数表示该行可以放置皇后的位置。在递归过程中,用三个二进制数分别表示列、左斜线和右斜线上已经有皇后的位置。每次尝试在下一行中放置皇后时,通过位运算快速判断该位置是否合法,并更新三个二进制数。如果到了最后一行仍然能够放置,则得到了一个解。如果无法放置,则需要回溯到上一行重新选择位置。
以上两种方法都是经典解法,具有较高的效率和普适性。在实际应用中,可以根据具体需求进行选择和优化。
### 回答2:
解决这个问题可以采用回溯算法。从第一行开始,尝试将皇后放在每个位置上,然后递归调用下一行。如果某个位置不能放置皇后(因为该位置的同行、同列或同斜线已经有其他皇后了),就回溯到上一行并尝试下一个位置。如果所有行都被尝试过了,则找到一种解法,计数器加一。整个过程可以用一个数列来表示棋盘,数列的索引表示列数,数列中的值表示该列上的皇后的行数。
具体的,我们可以定义一个列表`cols`,其中`cols[i]`表示第i列上的皇后放在了哪一行。每次递归时,从上到下按行数尝试在第i列上放置皇后。若成功则递归求解下一行,否则尝试在该列的下一行重新放置皇后。若所有行都被尝试过,则回溯到上一行。
代码如下:
```python
def solveNQueens(n: int) -> int:
def dfs(cols, row):
if row == n: # 找到一种合法解法
nonlocal count
count += 1
else:
for i in range(n):
if check(cols, row, i):
cols[row] = i
dfs(cols, row + 1)
def check(cols, row, col):
for i in range(row):
if cols[i] == col or abs(cols[i] - col) == row - i:
# 同列 或 同对角线(斜率为±1)
return False
return True
cols = [-1] * n
count = 0
dfs(cols, 0)
return count
```
其中`check()`函数用于检查在第`row`行第`col`列放置皇后是否合法。
该算法的时间复杂度为$O(n^n)$,因为每一行有n种可能的放置方法,总共有n行。空间复杂度为$O(n)$,因为需要一个长度为n的列表来维护棋盘。
可以通过调用`solveNQueens(n)`函数来求解n皇后的解法数量。
### 回答3:
n皇后问题,是计算机领域中的著名问题之一。这个问题的目标是在n*n大小的棋盘上放置n个皇后,使得它们相互之间无法攻击到对方。
为了解决这个问题,需要一种算法来找到所有可能的合法解。回溯算法是一种非常常见的解决方案,也是解决n皇后问题的经典算法。
回溯算法的基本思路是,在搜寻所有可能的解时,如果发现了一个不符合要求的解,就返回前一个状态,并继续搜索其他可能的解,直到找到符合要求的解或者结束搜索。
对于n皇后问题,可以使用回溯算法来找到所有合法解,具体步骤如下:
1. 将棋盘初始化为空,即没有皇后。
2. 从第一列开始,依次考虑每一个位置(从上到下)是否可以放置皇后。如果可以,就将皇后放到这个位置上,并进入下一列进行搜索。
3. 如果在某一列上找不到位置可以放置皇后,就返回前一列,并尝试下一个位置。
4. 如果在最后一列找到了合法解,就记录这个解,并返回前一列,继续搜索其他解。
一旦找到所有的合法解,就可以计数了。答案就是合法解的数量。
这个算法的复杂度取决于搜索解空间的大小,即所有可能的解的数量。由于每个皇后只能放在一行,所以每行只能放一个皇后,因此解空间的大小为n^n。但是,在搜索过程中,有很多不符合要求的解会被排除掉,这样可以大大减少搜索的时间。
总的来说,回溯算法是一种相对高效的解决n皇后问题的方法。虽然算法的时间复杂度很高,但是在实际应用中,由于存在很多优化,所以算法仍然可以快速有效地解决问题。
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