确定下列各集合是否是可数的或不可数的。对那些可数无限集合，给出在自然数集合和该集合之间的 一一对应。 a）不包含位0的全部位串 b)不能写成分母不小于4的全部正有理数 c)十进制表示中不包含0的实数 d)十进制表示中仅包含有限个 1的实数

### 回答1：
a) 不可数。可以使用对角线论证法证明。

b) 不可数。可以使用对角线论证法证明。

c) 不可数。可以使用对角线论证法证明。

d) 可数。我们可以把这些实数表示成形如 $\frac{m}{10^n}$ 的分数的形式，其中 $m$ 和 $n$ 都是自然数，并且 $m$ 只包含有限个 1。注意到这样的分数是有限个，因此可以按字典序排列。具体地，我们可以先按照 $n$ 的大小排序，然后对于相同的 $n$，按照 $m$ 的大小排序。最后，我们可以按照下面的方式建立自然数和这些分数之间的一一对应关系：

\begin{align*}
1 &\longleftrightarrow 0.1 \\
2 &\longleftrightarrow 0.11 \\
3 &\longleftrightarrow 0.111 \\
4 &\longleftrightarrow 0.2 \\
5 &\longleftrightarrow 0.21 \\
6 &\longleftrightarrow 0.22 \\
7 &\longleftrightarrow 0.3 \\
8 &\longleftrightarrow 0.31 \\
9 &\longleftrightarrow 0.4 \\
10 &\longleftrightarrow 0.5 \\
11 &\longleftrightarrow 0.6 \\
12 &\longleftrightarrow 0.7 \\
13 &\longleftrightarrow 0.8 \\
14 &\longleftrightarrow 0.9 \\
\end{align*}

### 回答2：
a）不包含位0的全部位串是可数的。我们可以通过构造一一对应来证明。将每个位串看作一个二进制数，其中每一位只能取1或者空。我们可以将这些位串按照长度有序排列。长度为1的位串只有一个，即1；长度为2的位串有3个，即1，10，11；长度为3的位串有7个，即1，10，11，100，101，110，111；以此类推。可以发现，每个长度为n的位串有2^(n-1)个。所以这个集合是可数的。

b) 不能写成分母不小于4的全部正有理数是不可数的。我们可以通过反证法来证明。假设这个集合是可数的，可以一一对应到自然数集合。其中第一个有理数对应于1，第二个对应于2，以此类推。现在我们来构造一个不在这个对应关系里面的有理数。我们先将自然数按照正序排列，然后将每个自然数写成若干个因子的乘积式，其中每个因子都是质数。这样我们可以得到一个序列，其中每个元素都是一个不可分解的质数乘积。然后我们将这个质数序列中的每两个相邻的质数之间插入一个有理数，这个有理数的分子是质数序列中前一个质数，分母是质数序列中后一个质数。这样我们就得到了一个有理数序列，其中每两个相邻的有理数之间至少有一个质数。因为质数是无穷的，所以这个有理数序列是无穷的，也就是说这个有理数序列是不可数的。这与我们假设的可数性矛盾，所以我们可以得出结论，这个集合是不可数的。

c) 十进制表示中不包含0的实数是可数的。我们可以通过构造一一对应来证明。我们将每个不包含0的十进制实数表示成无限位的小数，这样每个位都是1到9之间的数。我们可以按照正序将这些小数排列，以便能够用自然数集合来表示。其中第一个小数对应于1，第二个对应于2，以此类推。这样我们可以将每个小数与一个自然数对应起来。所以这个集合是可数的。

d) 十进制表示中仅包含有限个1的实数是可数的。我们可以通过构造一一对应来证明。我们可以将这些实数表示为有限位的小数，其中每个位只能取0或者1。我们可以按照正序将这些小数排列，以便能够用自然数集合来表示。其中第一个小数对应于1，第二个对应于2，以此类推。这样我们可以将每个小数与一个自然数对应起来。所以这个集合是可数的。

### 回答3：
a）不包含位0的全部位串是可数的。

我们可以通过构建一个一一对应来证明可数性。
首先，我们可以列举出不包含位0的长度为1的位串，只有1个，即{"1"}。
然后，我们列举出不包含位0的长度为2的位串，有2个，即{"1", "11"}。
接着，我们列举出不包含位0的长度为3的位串，有4个，即{"1", "11", "111", "1111"}。
以此类推，对于不包含位0的任意长度的位串，我们都可以列举出具体的位串集合，而且每个位串都不会重复。

由此可见，不包含位0的全部位串是可数的。

b）不能写成分母不小于4的全部正有理数是不可数的。

我们可以通过反证法来证明不可数性。
假设不能写成分母不小于4的全部正有理数是可数的，即存在一个一一对应的映射关系将自然数集合和该集合对应。
但是，我们可以构造出一个分母不小于4的正有理数，它不可能是映射到的任何一个自然数。
例如，我们可以构造出一个正有理数为1/3，它的分母小于4，显然与映射关系不符。

因此，不能写成分母不小于4的全部正有理数是不可数的。

c）十进制表示中不包含0的实数是不可数的。

我们可以通过反证法来证明不可数性。
假设十进制表示中不包含0的实数是可数的，即存在一个一一对应的映射关系将自然数集合和该集合对应。
但是，我们可以构造出一个十进制表示中不包含0的实数，它不可能是映射到的任何一个自然数。
例如，我们可以构造出一个不包含0的实数为0.147，它的每一位都不会映射到自然数中的某一位。

因此，十进制表示中不包含0的实数是不可数的。

d）十进制表示中仅包含有限个1的实数是可数的。

我们可以通过构建一个一一对应来证明可数性。
首先，我们可以列举出仅包含有限个1的十进制表示中的实数，长度为1的实数有2个，即{"1", "0"}。
然后，长度为2的实数有4个，即{"1", "11", "0.1", "0.01"}。
接着，长度为3的实数有8个，即{"1", "11", "111", "0.1", "0.01", "0.001", "0.0001", "0.00001"}。
以此类推，对于仅包含有限个1的任意长度的实数，我们都可以列举出具体的实数集合，而且每个实数都不会重复。

由此可见，十进制表示中仅包含有限个1的实数是可数的。